Forme modulaire

En mathématiques , une forme modulaire est une fonction analytique (complexe) sur le demi-plan supérieur , , qui satisfait approximativement une équation fonctionnelle par rapport à l' action de groupe du groupe modulaire et à une condition de croissance. La théorie des formes modulaires trouve ses origines dans l'analyse complexe , avec des liens importants avec la théorie des nombres . Les formes modulaires apparaissent également dans d'autres domaines, tels que la topologie algébrique , l'empilement de sphères et la théorie des cordes .

La théorie des formes modulaires est un cas particulier de la théorie plus générale des formes automorphes , qui sont des fonctions définies sur des groupes de Lie qui se transforment bien par rapport à l'action de certains sous-groupes discrets , généralisant ainsi l'exemple du groupe modulaire . Chaque forme modulaire est attachée à une représentation galoisienne .

Le terme « forme modulaire », en tant que description systématique, est généralement attribué à Erich Hecke .

En général, étant donné un sous-groupe d' indice fini , appelé groupe arithmétique , une forme modulaire de niveau et de poids est une fonction holomorphe du demi-plan supérieur telle que deux conditions soient satisfaites :

• Condition d'automorphie : Pour tout il existe l'égalité
• Condition de croissance : Pour toute fonction est bornée pour

où et la fonction est identifiée à la matrice L'identification de telles fonctions à de telles matrices fait que la composition de telles fonctions correspond à la multiplication de matrices. De plus, on parle de forme de cuspide si elle satisfait la condition de croissance suivante :

• Condition cuspidale : Pour toute fonction comme

Les formes modulaires peuvent également être interprétées comme des sections d'un faisceau de lignes spécifique sur des variétés modulaires . Pour une forme modulaire, le niveau et le poids peuvent être définis comme un élément de

où est un fibré de lignes canonique sur la courbe modulaire

Les dimensions de ces espaces de formes modulaires peuvent être calculées à l'aide du théorème de Riemann-Roch . Les formes modulaires classiques pour sont des sections d'un fibré de droites sur la pile de modules de courbes elliptiques .

Une fonction modulaire est une fonction invariante par rapport au groupe modulaire, mais sans la condition que f  ( z ) soit holomorphe dans le demi-plan supérieur (entre autres exigences). Au contraire, les fonctions modulaires sont méromorphes : elles sont holomorphes sur le complément d'un ensemble de points isolés, qui sont des pôles de la fonction.

Une forme modulaire de poids k pour le groupe modulaire

est une fonction à valeurs complexes f sur le demi-plan supérieur H = { z ∈ C , Im ( z ) > 0}, satisfaisant les trois conditions suivantes :   

1.  f  est une fonction holomorphe sur H .
2. Pour tout z ∈ H et toute matrice dans SL(2, Z ) comme ci-dessus, nous avons :

3.  f  doit être délimité lorsque z → i ∞ .

Remarques :

• Le poids k est généralement un entier positif.
• Pour k impair , seule la fonction zéro peut satisfaire la deuxième condition.
• La troisième condition est également formulée en disant que f est « holomorphe à la pointe », une terminologie qui est expliquée ci-dessous. Explicitement, la condition signifie qu'il existe un tel que , c'est-à-dire qu'il est délimité au-dessus d'une ligne horizontale.  $0M,D>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8326040c6bfde528e83f0eb51287bf17fcc48b">M\implique |f(z)|
• La deuxième condition pour

lit

respectivement. Puisque S et T génèrent le groupe modulaire SL(2, Z ) , la deuxième condition ci-dessus est équivalente à ces deux équations.

• Comme f  ( z + 1) =   f  ( z ) , les formes modulaires sont des fonctions périodiques , de période 1 , et possèdent donc une série de Fourier . 

Une forme modulaire peut être définie de manière équivalente comme une fonction F de l'ensemble des treillis de C vers l'ensemble des nombres complexes qui satisfait certaines conditions :

1. Si l'on considère le réseau Λ = Z α + Z z engendré par une constante α et une variable z , alors F (Λ) est une fonction analytique de z .
2. Si α est un nombre complexe non nul et α Λ est le réseau obtenu en multipliant chaque élément de Λ par α , alors F ( α Λ) = α ^{− k} F (Λ) où k est une constante (généralement un entier positif) appelée poids de la forme.
3. La valeur absolue de F (Λ) reste limitée au-dessus tant que la valeur absolue du plus petit élément non nul dans Λ est limitée à partir de 0.

L'idée clé pour prouver l'équivalence des deux définitions est qu'une telle fonction F est déterminée, en raison de la deuxième condition, par ses valeurs sur des réseaux de la forme Z + Z τ , où τ ∈ H .

I. Séries d'Eisenstein

Les exemples les plus simples de ce point de vue sont les séries d'Eisenstein . Pour tout entier pair k > 2 , nous définissons G _k (Λ) comme étant la somme de λ ^{− k} sur tous les vecteurs λ non nuls de Λ :

Alors G _k est une forme modulaire du poids k . Pour Λ = Z + Z τ on a

et

La condition k > 2 est nécessaire pour la convergence ; pour k impair il y a annulation entre λ ^{− k} et (− λ ) ^{− k} , de sorte que ces séries sont identiquement nulles.

II. Fonctions thêta des réseaux unimodulaires pairs

Un réseau unimodulaire pair L dans R ⁿ est un réseau engendré par n vecteurs formant les colonnes d'une matrice de déterminant 1 et satisfaisant la condition que le carré de la longueur de chaque vecteur dans L soit un entier pair. La fonction dite thêta

converge lorsque Im(z) > 0, et en conséquence de la formule de sommation de Poisson peut être montré comme étant une forme modulaire de poids n /2 . Il n'est pas si facile de construire des treillis même unimodulaires, mais voici une façon : Soit n un entier divisible par 8 et considérons tous les vecteurs v dans R ⁿ tels que 2 v ait des coordonnées entières, soit toutes paires, soit toutes impaires, et telles que la somme des coordonnées de v soit un entier pair. Nous appelons ce treillis L _n . Lorsque n = 8 , c'est le treillis généré par les racines dans le système de racines appelé E ₈ . Comme il n'existe qu'une seule forme modulaire de poids 8 à multiplication scalaire près,

même si les réseaux L ₈ × L ₈ et L ₁₆ ne sont pas semblables. John Milnor a observé que les tores de dimension 16 obtenus en divisant R ¹⁶ par ces deux réseaux sont par conséquent des exemples de variétés riemanniennes compactes qui sont isospectrales mais non isométriques (voir Entendre la forme d'un tambour .)

III. Le discriminant modulaire

La fonction eta de Dedekind est définie comme

où q est le carré du nome . Alors le discriminant modulaire Δ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ²⁴ est une forme modulaire de poids 12. La présence de 24 est liée au fait que le réseau de Leech a 24 dimensions. Une conjecture célèbre de Ramanujan affirmait que lorsque Δ( z ) est développé comme une série entière en q, le coefficient de q ^p pour tout nombre premier p a une valeur absolue ≤ 2 p ^11/2 . Ceci a été confirmé par les travaux d' Eichler , Shimura , Kuga , Ihara et Pierre Deligne à la suite de la preuve par Deligne des conjectures de Weil , qui se sont avérées impliquer la conjecture de Ramanujan.

Les deuxième et troisième exemples donnent un aperçu du lien entre les formes modulaires et les questions classiques de la théorie des nombres, telles que la représentation des entiers par des formes quadratiques et la fonction de partition . Le lien conceptuel crucial entre les formes modulaires et la théorie des nombres est fourni par la théorie des opérateurs de Hecke , qui donne également le lien entre la théorie des formes modulaires et la théorie des représentations .

Lorsque le poids k est nul, on peut montrer à l'aide du théorème de Liouville que les seules formes modulaires sont des fonctions constantes. Cependant, en relâchant l'exigence que f soit holomorphe, on aboutit à la notion de fonctions modulaires . Une fonction f : H → C est dite modulaire si elle satisfait les propriétés suivantes :

• f est méromorphe dans le demi-plan supérieur ouvert H
• Pour chaque matrice entière dans le groupe modulaire Γ , .
• La deuxième condition implique que f est périodique, et possède donc une série de Fourier . La troisième condition est que cette série soit de la forme

On l'écrit souvent en termes de (le carré du nome ), comme :

On parle également de développement q de f ( principe de développement q ). Les coefficients sont connus sous le nom de coefficients de Fourier de f et le nombre m est appelé l'ordre du pôle de f à i∞. Cette condition est appelée « méromorphe à la pointe », ce qui signifie que seul un nombre fini de coefficients négatifs n sont non nuls, de sorte que le développement q est limité en dessous, ce qui garantit qu'il est méromorphe à q = 0.

Parfois, une définition plus faible des fonctions modulaires est utilisée – selon la définition alternative, il suffit que f soit méromorphe dans le demi-plan supérieur ouvert et que f soit invariant par rapport à un sous-groupe du groupe modulaire d'indice fini. Cette définition n'est pas respectée dans cet article.

Une autre façon de formuler la définition des fonctions modulaires est d'utiliser des courbes elliptiques : tout réseau Λ détermine une courbe elliptique C /Λ sur C ; deux réseaux déterminent des courbes elliptiques isomorphes si et seulement si l'une est obtenue à partir de l'autre en multipliant par un nombre complexe non nul α . Ainsi, une fonction modulaire peut également être considérée comme une fonction méromorphe sur l'ensemble des classes d'isomorphismes des courbes elliptiques. Par exemple, le j-invariant j ( z ) d'une courbe elliptique, considéré comme une fonction sur l'ensemble de toutes les courbes elliptiques, est une fonction modulaire. Plus conceptuellement, les fonctions modulaires peuvent être considérées comme des fonctions sur l' espace des modules des classes d'isomorphismes des courbes elliptiques complexes.

Une forme modulaire f qui s'annule à q = 0 (de manière équivalente, a ₀ = 0 , également paraphrasée en z = i ∞ ) est appelée forme de cuspide ( Spitzenform en allemand ). Le plus petit n tel que a _n ≠ 0 est l'ordre du zéro de f à i ∞ .

Une unité modulaire est une fonction modulaire dont les pôles et les zéros sont confinés aux cuspides.

L'équation fonctionnelle, c'est-à-dire le comportement de f par rapport à peut être assouplie en l'exigeant uniquement pour les matrices des groupes plus petits.

Soit G un sous-groupe de SL(2, Z ) d' indice fini . Un tel groupe G agit sur H de la même manière que SL(2, Z ) . On peut montrer que l' espace topologique quotient G \ H est un espace de Hausdorff . Il n'est typiquement pas compact, mais peut être compactifié en ajoutant un nombre fini de points appelés rebroussements . Ce sont des points à la frontière de H , c'est-à-dire dans Q ∪{∞}, tels qu'il existe un élément parabolique de G (une matrice de trace ±2) fixant le point. On obtient ainsi un espace topologique compact G \ H ^∗ . De plus, on peut le doter d'une structure de surface de Riemann , ce qui permet de parler de fonctions holo- et méromorphes.

Des exemples importants sont, pour tout entier positif N , l'un ou l'autre des sous-groupes de congruence

Pour G = Γ ₀ ( N ) ou Γ( N ) , les espaces G \ H et G \ H ^∗ sont notés Y ₀ ( N ) et X ₀ ( N ) et Y ( N ), X ( N ), respectivement.

La géométrie de G \ H ^∗ peut être comprise en étudiant les domaines fondamentaux pour G , c'est-à-dire les sous-ensembles D ⊂ H tels que D coupe chaque orbite de l' action G sur H exactement une fois et tels que la fermeture de D rencontre toutes les orbites. Par exemple, le genre de G \ H ^∗ peut être calculé.

Une forme modulaire pour G de poids k est une fonction sur H satisfaisant l'équation fonctionnelle ci-dessus pour toutes les matrices de G , qui est holomorphe sur H et à tous les points de rebroussement de G . De nouveau, les formes modulaires qui s'annulent à tous les points de rebroussement sont appelées formes de rebroussement pour G . Les C -espaces vectoriels des formes modulaires et de rebroussement de poids k sont notés M _k ( G ) et S _k ( G ) , respectivement. De même, une fonction méromorphe sur G \ H ^∗ est appelée fonction modulaire pour G . Dans le cas où G = Γ ₀ ( N ), elles sont également appelées formes modulaires/de rebroussement et fonctions de niveau N . Pour G = Γ(1) = SL(2, Z ) , cela renvoie aux définitions mentionnées ci-dessus.

La théorie des surfaces de Riemann peut être appliquée à G \ H ^∗ pour obtenir des informations supplémentaires sur les formes et fonctions modulaires. Par exemple, les espaces M _k ( G ) et S _k ( G ) sont de dimension finie, et leurs dimensions peuvent être calculées grâce au théorème de Riemann–Roch en termes de géométrie de l' action G sur H . Par exemple,

où désigne la fonction plancher et est pair.

Les fonctions modulaires constituent le corps des fonctions de la surface de Riemann, et forment donc un corps de degré de transcendance un (sur C ). Si une fonction modulaire f n'est pas identiquement 0, alors on peut montrer que le nombre de zéros de f est égal au nombre de pôles de f dans la fermeture de la région fondamentale R _Γ . On peut montrer que le corps des fonctions modulaires de niveau N ( N ≥ 1) est engendré par les fonctions j ( z ) et j ( Nz ).

La situation peut être avantageusement comparée à celle qui se présente dans la recherche de fonctions sur l' espace projectif P( V ) : dans ce cadre, on souhaiterait idéalement avoir des fonctions F sur l'espace vectoriel V qui soient polynomiales dans les coordonnées de v ≠ 0 dans V et satisfassent l'équation F ( cv ) = F ( v ) pour tout c non nul . Malheureusement, les seules de telles fonctions sont des constantes. Si l'on admet des dénominateurs (fonctions rationnelles au lieu de polynômes), on peut poser F comme rapport de deux polynômes homogènes de même degré. Alternativement, on peut s'en tenir aux polynômes et relâcher la dépendance à c , en posant F ( cv ) = c ^k F ( v ). Les solutions sont alors les polynômes homogènes de degré k . D'une part, ceux-ci forment un espace vectoriel de dimension finie pour chaque k , et d'autre part, si l'on laisse k varier, on peut trouver les numérateurs et les dénominateurs pour construire toutes les fonctions rationnelles qui sont en réalité des fonctions sur l'espace projectif sous-jacent P( V ).

On peut se demander, puisque les polynômes homogènes ne sont pas réellement des fonctions sur P( V ), ce qu'ils sont, géométriquement parlant ? La réponse algébro-géométrique est qu'ils sont des sections d'un faisceau (on pourrait aussi dire un fibré en ligne dans ce cas). La situation avec les formes modulaires est exactement analogue.

Les formes modulaires peuvent également être abordées avec profit à partir de cette direction géométrique, sous forme de sections de fibrés de lignes sur l'espace des modules de courbes elliptiques.

Pour un sous-groupe Γ de SL(2, Z ) , l'anneau des formes modulaires est l' anneau gradué engendré par les formes modulaires de Γ . En d'autres termes, si M _k (Γ) est l'espace vectoriel des formes modulaires de poids k , alors l'anneau des formes modulaires de Γ est l'anneau gradué . $0\}M\_\{k\}(\backslash Gamma\; )M\left(\Gamma \right)=\underset{k>0}{⨁}{M}_k\left(\Gamma \right)$0}M_{k}(\Gamma )}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d684aee3c19e7327a3abeb262e2522984da0d77">

Les anneaux de formes modulaires de sous-groupes de congruence de SL(2, Z ) sont engendrés de manière finie grâce à un résultat de Pierre Deligne et Michael Rapoport . De tels anneaux de formes modulaires sont engendrés en poids au plus égal à 6 et les relations sont engendrées en poids au plus égal à 12 lorsque le sous-groupe de congruence a des formes modulaires de poids impair non nul, et les bornes correspondantes sont 5 et 10 lorsqu'il n'y a pas de formes modulaires de poids impair non nul.

Plus généralement, il existe des formules pour les bornes sur les poids des générateurs de l'anneau des formes modulaires et ses relations pour des groupes fuchsiens arbitraires .

Les nouvelles formes sont un sous-espace de formes modulaires d'un niveau fixe qui ne peut être construit à partir de formes modulaires de niveaux inférieurs divisant . Les autres formes sont appelées formes anciennes . Ces formes anciennes peuvent être construites en utilisant les observations suivantes : si alors donnant une inclusion inverse des formes modulaires .

Une forme de cuspide est une forme modulaire avec un coefficient constant nul dans sa série de Fourier. On l'appelle forme de cuspide parce que la forme s'annule à toutes les cuspides.

Il existe un certain nombre d'autres utilisations du terme « fonction modulaire », en dehors de celle-ci classique ; par exemple, dans la théorie des mesures de Haar , il s'agit d'une fonction Δ( g ) déterminée par l'action de conjugaison.

Les formes de Maass sont des fonctions propres analytiques réelles du Laplacien mais ne doivent pas nécessairement être holomorphes . Les parties holomorphes de certaines formes d'onde de Maass faibles se révèlent être essentiellement des fonctions thêta simulées de Ramanujan . Les groupes qui ne sont pas des sous-groupes de SL(2, Z ) peuvent être considérés.

Les formes modulaires de Hilbert sont des fonctions à n variables, chacune étant un nombre complexe dans le demi-plan supérieur, satisfaisant une relation modulaire pour des matrices 2×2 avec des entrées dans un corps de nombres totalement réels .

Les formes modulaires de Siegel sont associées à des groupes symplectiques plus grands de la même manière dont les formes modulaires classiques sont associées à SL(2, R ) ; en d'autres termes, elles sont apparentées aux variétés abéliennes dans le même sens que les formes modulaires classiques (qui sont parfois appelées formes modulaires elliptiques pour souligner ce point) sont apparentées aux courbes elliptiques.

Les formes de Jacobi sont un mélange de formes modulaires et de fonctions elliptiques. Les exemples de telles fonctions sont très classiques - les fonctions thêta de Jacobi et les coefficients de Fourier des formes modulaires de Siegel de genre deux - mais il est relativement récent que les formes de Jacobi ont une théorie arithmétique très analogue à la théorie habituelle des formes modulaires.

Les formes automorphes étendent la notion de formes modulaires aux groupes de Lie généraux .

Les intégrales modulaires de poids k sont des fonctions méromorphes sur le demi-plan supérieur de croissance modérée à l'infini qui ne parviennent pas à être modulaires de poids k par une fonction rationnelle.

Les facteurs automorphes sont des fonctions de la forme qui sont utilisées pour généraliser la relation de modularité définissant les formes modulaires, de sorte que

La fonction est appelée le nébentype de la forme modulaire. Des fonctions telles que la fonction Dedekind eta , une forme modulaire de poids 1/2, peuvent être englobées par la théorie en autorisant les facteurs automorphes.

La théorie des formes modulaires a été développée en quatre périodes :

• En relation avec la théorie des fonctions elliptiques , au début du XIXe siècle
• Par Felix Klein et d'autres vers la fin du XIXe siècle, lorsque le concept de forme automorphe a été compris (pour une variable)
• Par Erich Hecke vers 1925
• Dans les années 1960, les besoins de la théorie des nombres et la formulation du théorème de modularité en particulier ont clairement montré que les formes modulaires étaient profondément impliquées.

Taniyama et Shimura ont identifié une correspondance bijective entre certaines formes modulaires et des courbes elliptiques. Robert Langlands s'est appuyé sur cette idée pour élaborer son vaste programme de Langlands , qui est devenu l'un des programmes de recherche les plus ambitieux et les plus conséquents en mathématiques.

En 1994, Andrew Wiles a utilisé des formes modulaires pour prouver le dernier théorème de Fermat . En 2001, toutes les courbes elliptiques se sont avérées modulaires sur les nombres rationnels. En 2013, les courbes elliptiques se sont avérées modulaires sur les corps quadratiques réels . En 2023, les courbes elliptiques se sont avérées modulaires sur environ la moitié des corps quadratiques imaginaires, y compris les corps formés en combinant les nombres rationnels avec la racine carrée d'entiers jusqu'à −5.