structure complexe linéaire

En mathématiques , une structure complexe sur un espace vectoriel réel est un automorphisme de cet espace dont le carré est égal à l' élément neutre négatif . Une telle structure permet de définir la multiplication par des scalaires complexes de manière canonique, de sorte que l'on puisse considérer cet espace comme un espace vectoriel complexe .

Tout espace vectoriel complexe peut être muni d'une structure complexe compatible de manière canonique ; cependant, il n'existe généralement pas de structure complexe canonique. Les structures complexes trouvent des applications en théorie des représentations ainsi qu'en géométrie complexe, où elles jouent un rôle essentiel dans la définition des variétés presque complexes , par opposition aux variétés complexes . Le terme « structure complexe » se réfère souvent à cette structure sur les variétés ; lorsqu'il se réfère à une structure sur les espaces vectoriels, on parle alors de structure complexe linéaire .

espace vectoriel réel est une transformation linéaire réelle telle que . Ici, désigne la composée de avec elle-même et est l' application identité sur . Autrement dit, l'effet de l'application deux fois de est le même que celui de la multiplication par . Ceci rappelle la multiplication par l' unité imaginaire . Une structure complexe permet de munir de la structure d'un espace vectoriel complexe . La multiplication par un scalaire complexe peut être définie par pour tous les nombres réels et tous les vecteurs de

En allant dans l'autre sens, si l'on part d'un espace vectoriel complexe , on peut définir une structure complexe sur l'espace réel sous-jacent en définissant . Plus formellement, une structure complexe linéaire sur un espace vectoriel réel est une représentation algébrique des nombres complexes, vue comme une algèbre associative sur les nombres réels . Cette algèbre se réalise concrètement par , qui correspond à . Alors, une représentation de est un espace vectoriel réel , muni d'une action de sur (une application ). Concrètement, il s'agit simplement d'une action de , car elle engendre l'algèbre , et l'opérateur représentant (l'image de dans ) est exactement . Si un espace a une dimension complexe , alors il a nécessairement une dimension réelle . Autrement dit, un espace de dimension finie admet une structure complexe uniquement s'il est de dimension paire. Il est aisé de constater que tout espace vectoriel de dimension paire admet une structure complexe. On peut définir sur des paires de vecteurs de base par et , puis étendre par linéarité à tout . Si est une base de l'espace vectoriel complexe , alors est une base de l'espace réel sous-jacent . Une transformation linéaire réelle est une transformation linéaire complexe de l'espace complexe correspondant si et seulement si elle commute avec , c'est-à-dire si et seulement si . De même, un sous-espace réel de est un sous-espace complexe de si et seulement si préserve , c'est-à-dire si et seulement si .

Exemples

Exemple élémentaire

L'ensemble des matrices réelles sur le corps réel est de dimension 4. Toute matrice

Le carré de la matrice est égal à l'opposé de la matrice identité. Une structure complexe peut être formée dans : avec la matrice identité , éléments , la multiplication matricielle formant des nombres complexes.

Espace complexe à n dimensions C ⁿ

L'exemple fondamental d'une structure complexe linéaire est la structure sur R²ⁿ issue de la structure complexe sur Cⁿ ^. Autrement dit, l'espace complexe n- dimensionnel Cⁿ est également un espace réel 2ⁿ - ^{dimensionnel – en utilisant la même addition vectorielle et la}^même multiplication par un scalaire réel – tandis que la multiplication par le nombre complexe i est non seulement une transformation linéaire complexe de l'espace, vu comme un espace vectoriel complexe, mais aussi une transformation linéaire réelle de l'espace, vu comme un espace vectoriel réel. Concrètement, cela s'explique par le fait que la multiplication par un scalaire i commute avec la multiplication par un scalaire réel et est distributive par rapport à l'addition vectorielle. Sous forme de matrice complexe n × n , il s'agit simplement de la matrice scalaire dont la diagonale contient i . La matrice réelle 2ⁿ × 2ⁿ correspondante est notée J.

Étant donné une base de l'espace complexe, cet ensemble, muni de ces vecteurs multipliés par i, forme une base de l'espace réel. Il existe deux manières naturelles d'ordonner cette base, correspondant abstraitement au fait d'écrire le produit tensoriel sous la forme ou .

Si l'on ordonne la base comme suit, la matrice de J prend la forme diagonale par blocs (les indices indiquent la dimension) : Cet ordre a l'avantage de respecter les sommes directes d'espaces vectoriels complexes, ce qui signifie ici que la base de J est la même que celle de J.

En revanche, si l'on ordonne la base comme , alors la matrice pour J est antidiagonale par blocs : cet ordre est plus naturel si l'on considère l'espace complexe comme une somme directe d'espaces réels, comme expliqué ci-dessous.

Les données de l'espace vectoriel réel et de la matrice J sont exactement les mêmes que celles de l'espace vectoriel complexe, car la matrice J permet de définir la multiplication complexe. Au niveau des algèbres de Lie et des groupes de Lie , cela correspond à l'inclusion de gl( n , C ) dans gl( 2n , R ) (algèbres de Lie – matrices, pas nécessairement inversibles) et de GL( n , C ) dans GL( 2n , R ).

le crochet de Lie avec J s'annule, c'est-à-dire, en d'autres termes, comme le noyau de l'application de crochetage avec J,

Notez que les équations définissant ces énoncés sont les mêmes, de même que est la même chose que est la même chose que bien que la signification de l'annulation du crochet de Lie soit moins immédiate géométriquement que la signification de la commutation.

Somme directe

Si V est un espace vectoriel réel quelconque, la somme directe V ⊕ V est munie d'une structure complexe canonique donnée par : La forme matricielle par blocs de J est : où est l'application identité sur V. Ceci correspond à la structure complexe du produit tensoriel

Compatibilité avec d'autres structures

Si $forme bilinéaire sur anti-adjoint à$

Si $produit scalaire sur transformation orthogonale . De même, non dégénérée et antisymétrique transformation symplectique (c'est-à-dire si J \neq 0 ). Pour les formes symplectiques 0$

Étant donné une forme symplectique $forme symplectique est non dégénérée, la forme bilinéaire associée définie positive . Ainsi, dans ce cas, espace préhilbertien par rapport à partie réelle de la forme hermitienne ($

Relation avec les complexifications

Étant donné un espace vectoriel réel quelconque V , on peut définir sa complexification par extension de scalaires :

Il s'agit d'un espace vectoriel complexe dont la dimension complexe est égale à la dimension réelle de V. Il possède une conjugaison complexe canonique définie par

Si J est une structure complexe sur V , nous pouvons étendre J par linéarité à V ^C :

Puisque C est algébriquement clos , J possède nécessairement des valeurs propres telles que λ² ⁼ −1, à savoir λ = ± i . On peut donc écrire :

où V ⁺ et V ⁻ sont les sous-espaces propres de + i et − i , respectivement. La conjugaison complexe intervertit V ⁺ et V ⁻ . Les applications de projection sur les sous-espaces propres V ^± sont données par

De sorte que

Il existe un isomorphisme linéaire complexe naturel entre V _J et V ⁺ , donc ces espaces vectoriels peuvent être considérés comme identiques, tandis que V ⁻ peut être considéré comme le conjugué complexe de V _J .

Notez que si V _J a une dimension complexe n, alors V ⁺ et V ⁻ ont tous deux une dimension complexe n tandis que V ^C a une dimension complexe 2 n .

De manière abstraite, si l'on part d'un espace vectoriel complexe W et que l'on prend la complexification de l'espace réel sous-jacent, on obtient un espace isomorphe à la somme directe de W et de son conjugué :

Extension aux espaces vectoriels associés

Soit V un espace vectoriel réel muni d'une structure complexe J. L' espace dual V * possède une structure complexe naturelle J * donnée par le dual (ou la transposée ) de J. La complexification de l'espace dual ( V *) ^C admet donc une décomposition naturelle.

dans les sous-espaces propres ± i de J *. Sous l'identification naturelle de ( V *) ^C avec ( V ^C )*, on peut caractériser ( V *) ⁺ comme l'ensemble des fonctionnelles linéaires complexes qui s'annulent sur V ⁻ . De même, ( V *) ⁻ est constitué des fonctionnelles linéaires complexes qui s'annulent sur V ⁺ .

Les algèbres tensorielles (complexes) , symétriques et extérieures sur V ⊕ ^C admettent également des décompositions. L'algèbre extérieure est peut-être l'application la plus importante de cette décomposition. En général, si un espace vectoriel U admet une décomposition U = S ⊕ T , alors les puissances extérieures de U peuvent être décomposées comme suit :

Une structure complexe J sur V induit donc une décomposition

où

Toutes les puissances extérieures sont prises sur les nombres complexes. Donc, si V _J a une dimension complexe n (dimension réelle 2 n ) alors

Les dimensions s'additionnent correctement en conséquence de l'identité de Vandermonde .

L'espace des ( p , q )-formes Λ ^{p , q} V _J * est l'espace des formes multilinéaires (complexes) sur V ^C qui s'annulent sur les éléments homogènes sauf si p appartient à V ⁺ et q à V  ⁻ . On peut également considérer Λ ^{p , q} V  _J * comme l'espace des applications multilinéaires réelles de V _J vers C qui sont linéaires complexes en termes de p et conjuguées en termes de q .

Voir les notions de forme différentielle complexe et de variété presque complexe pour des applications de ces idées.