Fonction partielle

En mathématiques , une fonction partielle f d'un ensemble X vers un ensemble Y est une fonction d'un sous-ensemble S de X (éventuellement X tout entier ) vers Y. Le sous-ensemble S , c'est-à-dire le domaine de définition de f , est appelé domaine naturel de f . Si S = X , c'est-à-dire si f est définie sur tout élément de X , alors f est dite fonction totale .

Autrement dit, une fonction partielle est une relation binaire entre deux ensembles qui associe à chaque élément du premier ensemble au plus un élément du second ; il s’agit donc d’une relation univalente . Ceci généralise le concept de fonction (totale) en n’exigeant pas que chaque élément du premier ensemble soit associé à un élément du second.

On utilise souvent une fonction partielle lorsque son domaine de définition exact est inconnu ou difficile à préciser. Cependant, même lorsque ce domaine est connu, on recourt fréquemment aux fonctions partielles par souci de simplicité ou de concision. C'est le cas en calcul différentiel et intégral , où, par exemple, le quotient de deux fonctions est une fonction partielle dont le domaine de définition ne peut contenir les zéros du dénominateur ; dans ce contexte, on appelle généralement une fonction partielle une fonction .

En théorie de la calculabilité , une fonction récursive générale est une fonction partielle des entiers vers les entiers ; il n'existe aucun algorithme permettant de déterminer si une telle fonction arbitraire est en fait totale.

Lorsque la notation fléchée est utilisée pour les fonctions, une fonction partielle de à est parfois écrite comme ou . Cependant, il n'existe pas de convention générale, et cette dernière notation est plus couramment utilisée pour les cartes d'inclusion ou les plongements .

Plus précisément, pour une fonction partielle , et pour n'importe laquelle d'entre elles, on a soit :

• Y ), ou

Par exemple, si √ est la fonction racine carrée restreinte aux entiers

défini par :

alors est défini uniquement si est un carré parfait (c'est-à-dire, ). Donc mais n'est pas défini.

Une fonction partielle résulte de l'étude d'applications entre deux ensembles X et Y qui ne sont pas nécessairement définies sur l'ensemble X entier . Un exemple courant est l'opération racine carrée sur les nombres réels : comme les nombres réels négatifs n'ont pas de racines carrées réelles, cette opération peut être vue comme une fonction partielle de S vers Y. Le domaine de définition d'une fonction partielle est le sous-ensemble S de X sur lequel la fonction partielle est définie ; dans ce cas, la fonction partielle peut également être vue comme une fonction de S vers Y. Dans l'exemple de l'opération racine carrée, l'ensemble S est constitué des nombres réels non négatifs.

La notion de fonction partielle est particulièrement pratique lorsque le domaine de définition exact est inconnu, voire inconnaissable. Pour un exemple en informatique illustrant ce dernier cas, voir le problème de l'arrêt .

Si le domaine de définition S est égal à l'ensemble X tout entier , la fonction partielle est dite totale . Ainsi, les fonctions partielles totales de X vers Y coïncident avec les fonctions de X vers Y.

De nombreuses propriétés des fonctions peuvent être étendues au sens approprié des fonctions partielles. Une fonction partielle est dite injective , surjective ou bijective lorsque la fonction obtenue par restriction de la fonction partielle à son domaine de définition est respectivement injective, surjective ou bijective.

Puisqu'une fonction est trivialement surjective lorsqu'elle est restreinte à son image, le terme bijection partielle désigne une fonction partielle qui est injective.

Une fonction partielle injective peut être inversée en une autre fonction partielle injective, et une fonction partielle à la fois injective et surjective admet une fonction injective comme inverse. De plus, une fonction injective peut être inversée en une fonction partielle bijective.

La notion de transformation peut également être généralisée aux fonctions partielles. Une transformation partielle est une fonction où et sont des sous-ensembles d'un certain ensemble

Par commodité, notons l'ensemble de toutes les fonctions partielles d'un ensemble vers un ensemble par . Cet ensemble est l'union des ensembles de fonctions définies sur des sous-ensembles de ayant le même codomaine :

ce dernier s'écrit également comme suit : Dans le cas fini, sa cardinalité est

car toute fonction partielle peut être étendue à une fonction par toute valeur fixe non contenue dans de sorte que le codomaine est une opération injective (unique et inversible par restriction).

Le premier diagramme en haut de l'article représente une fonction partielle qui n'en est pas une, car l'élément 1 de l'ensemble de gauche n'est associé à aucun élément de l'ensemble de droite. En revanche, le second diagramme représente une fonction, puisque chaque élément de l'ensemble de gauche est associé à un seul élément de l'ensemble de droite.

La fonction logarithme népérien , qui associe à chaque nombre réel sa propre moitié, est une fonction partielle, mais pas une fonction totale, car elle n'est pas définie pour les nombres réels non positifs. Si son domaine de définition est restreint aux nombres réels positifs (c'est-à-dire si l'on considère le logarithme népérien comme une fonction des nombres réels positifs vers les nombres réels), alors le logarithme népérien est bien une fonction.

La soustraction des nombres naturels (où n est l' ensemble des entiers non négatifs ) est une fonction partielle :

Elle n'est définie que lorsque

En sémantique dénotationnelle, une fonction partielle est considérée comme renvoyant l' élément inférieur lorsqu'elle est indéfinie.

En informatique, une fonction partielle correspond à une sous-routine qui lève une exception ou s'exécute indéfiniment. La norme IEEE relative aux nombres à virgule flottante définit une valeur « non numérique » renvoyée lorsqu'une opération à virgule flottante est indéfinie et que les exceptions sont ignorées, par exemple lors du calcul de la racine carrée d'un nombre négatif.

Dans un langage de programmation où les paramètres de fonction sont statiquement typés , une fonction peut être définie comme une fonction partielle car le système de types du langage ne peut pas exprimer le domaine exact de la fonction ; le programmeur lui attribue donc le plus petit domaine exprimable sous forme de type et contenant le domaine de définition de la fonction.

En théorie des catégories , lorsqu'on considère l'opération de composition de morphismes dans les catégories concrètes , cette opération est totale si et seulement si elle possède un seul élément. En effet, deux morphismes et ne peuvent être composés que si leur codomaine est égal au domaine de .

La catégorie des ensembles et des fonctions partielles est équivalente à la catégorie des ensembles pointés et des applications préservant les points, mais n'est pas isomorphe à celle-ci. Un manuel note que « ce complément formel des ensembles et des applications partielles par l'ajout d'éléments « impropres » et « infinis » a été réinventé à de nombreuses reprises, notamment en topologie ( compactification à un point ) et en informatique théorique ».

La catégorie des ensembles et des bijections partielles est équivalente à sa duale . C'est la catégorie inverse prototypique .

L'algèbre partielle généralise la notion d' algèbre universelle aux opérations partielles . Un exemple serait un corps dans lequel l'inversion multiplicative est la seule opération partielle propre (car la division par zéro n'est pas définie).

L'ensemble de toutes les fonctions partielles ( transformations partielles ) sur un ensemble de base donné forme un semi-groupe régulier appelé semi-groupe des transformations partielles (ou semi-groupe des transformations partielles sur ), généralement noté L'ensemble de toutes les bijections partielles sur forme le semi-groupe inverse symétrique .

Les cartes des atlas qui spécifient la structure des variétés et des fibrés sont des fonctions partielles. Dans le cas des variétés, le domaine est l'ensemble des points de la variété. Dans le cas des fibrés, le domaine est l'espace du fibré. Dans ces applications, la construction la plus importante est l' application de transition , qui est la composée d'une carte et de l'inverse d'une autre. La classification initiale des variétés et des fibrés est largement exprimée en termes de contraintes sur ces applications de transition.

L'utilisation de fonctions partielles plutôt que de fonctions complètes permet de représenter des topologies globales générales en assemblant des zones locales pour décrire la structure globale. Ces « zones » correspondent aux domaines où les diagrammes sont définis.