Complément (théorie des ensembles)

Un cercle rouge est inscrit dans un carré. L'espace extérieur au cercle est vide. Les contours du cercle et du carré sont noirs.

Si A est la zone colorée en rouge sur cette image…

Un cercle vide inscrit dans un carré. La partie du carré non recouverte par le cercle est rouge. Les contours du cercle et du carré sont noirs.

…alors le complément de A est tout le reste.

En théorie des ensembles , le complément d'un ensemble $éléments qui ne sont pas dans univers , c'est-à - dire tous les éléments considérés, sont considérés comme membres d'un ensemble donné$

Le complément absolu du disque blanc est la région rouge

Définition

Le complément absolu de

Exemples

Supposons que l'univers soit l'ensemble des entiers . Si $multiples de 3, alors le complémentaire de congrus à 1 ou 2 modulo 3 (ou, en d'autres termes, les entiers qui ne sont pas des multiples de 3).$
Supposons que l'univers soit un jeu de 52 cartes standard . Si l'ensemble $union des couleurs des trèfles, des carreaux et des cœurs. Si l'ensemble univers des ensembles décrit par la théorie des ensembles formalisée , le complément absolu d'un ensemble n'est généralement pas lui-même un ensemble, mais plutôt une classe stricte . Pour plus d'informations, voir ensemble universel .$

Propriétés

Soient $Lois de De Morgan :$

Lois complémentaires :

$(ceci découle de l'équivalence d'une conditionnelle avec sa contraposée).$

Loi d'involution ou loi du double complément :

Relations entre compléments relatifs et absolus :

Relation avec une différence fixe :

Les deux premières lois complémentaires ci-dessus montrent que si $est un sous-ensemble propre non vide de partition de$

Le complément relatif de

Le complément relatif de $norme ISO 31-11 . Il est parfois écrit, mais cette notation peut être ambiguë, car dans certains contextes (par exemple, les opérations ensemblistes de Minkowski en analyse fonctionnelle) , il peut être interprété comme l'ensemble de tous les éléments où$

Exemples

Si est l'ensemble des nombres réels et est l'ensemble des nombres rationnels , alors est l'ensemble des nombres irrationnels .

Propriétés

identités suivantes décrivent des propriétés remarquables des compléments relatifs :

$avec le cas particulier important démontrant que l'intersection peut être exprimée en utilisant uniquement l'opération de complément relatif.$
Si , alors .
$est équivalent à .$

Relation complémentaire

Une relation binaire est définie comme un sous-ensemble d'un produit d'ensembles. La relation complémentaire est le complément de l'ensemble dans . Le complément de la relation peut s'écrire . Ici, est souvent considérée comme une matrice logique dont les lignes représentent les éléments de et les colonnes les éléments de . La valeur vraie de correspond à 1 dans la ligne et la colonne . Produire la relation complémentaire à correspond alors à inverser tous les 1 en 0 et les 0 en 1 pour la matrice logique du complément.

Avec la composition des relations et les relations réciproques , les relations complémentaires et l' algèbre des ensembles sont les opérations élémentaires du calcul des relations .

Notation LaTeX

LaTeX , la commande \setminus est généralement utilisée pour afficher un symbole de différence ensembliste, similaire à une barre oblique inverse . Une fois affichée, cette \setminuscommande est identique à \backslash, à ceci près qu'elle présente un espacement légèrement supérieur avant et après la barre oblique, à l'instar de la séquence LaTeX \mathbin{\backslash}. Une variante \smallsetminusest disponible dans le package amssymb, mais ce symbole n'est pas inclus séparément dans Unicode. Le symbole (par opposition à ) est produit par . (Il correspond au symbole Unicode