Équation paramétrique

En cinématique , les trajectoires des objets dans l'espace sont généralement décrites par des courbes paramétriques, chaque coordonnée spatiale dépendant explicitement d'un paramètre indépendant (généralement le temps). Utilisées de cette manière, les équations paramétriques des coordonnées de l'objet constituent collectivement une fonction vectorielle de la position. Ces courbes paramétriques peuvent ensuite être intégrées et dérivées terme à terme. Ainsi, si la position d'une particule est décrite paramétriquement comme

sa vitesse peut alors être trouvée comme

et son accélération en tant que

Une autre utilisation importante des équations paramétriques se trouve dans le domaine de la conception assistée par ordinateur (CAO). Par exemple, considérons les trois représentations suivantes, qui sont toutes couramment utilisées pour décrire des courbes planes .

Chaque représentation présente des avantages et des inconvénients pour les applications de CAO.

La représentation explicite peut être très complexe, voire inexistante. De plus, elle se comporte mal sous les transformations géométriques , et en particulier sous les rotations . En revanche, comme une équation paramétrique et une équation implicite peuvent facilement être déduites d'une représentation explicite, lorsqu'une représentation explicite simple existe, elle combine les avantages des deux autres représentations.

Les représentations implicites peuvent rendre difficile la génération de points sur la courbe, voire la détermination de leur existence même. En revanche, elles sont parfaitement adaptées pour déterminer si un point donné appartient à une courbe, ou s'il est à l'intérieur ou à l'extérieur d'une courbe fermée.

De telles décisions peuvent être difficiles avec une représentation paramétrique, mais les représentations paramétriques sont mieux adaptées à la génération de points sur une courbe et à son tracé.

De nombreux problèmes de géométrie des nombres entiers peuvent être résolus à l'aide d'équations paramétriques. Une solution classique est la paramétrisation euclidienne des triangles rectangles, telle que les longueurs de leurs côtés entiers premiers entre eux . Comme

où les paramètres système de sous-déterminé s'il admet plus d'une solution. Cela se produit lorsque la matrice du système et sa matrice augmentée ont le même rang des combinaisons linéaires des inconnues sélectionnées. Autrement dit, si les inconnues sont , on peut les réordonner pour exprimer les solutions comme

Une telle équation paramétrique est appelée « l'élimination de Gauss pour calculer une forme échelonnée réduite de la matrice augmentée. Les inconnues pouvant servir de paramètres sont alors celles qui correspondent aux colonnes ne contenant pas d' élément dominant (c'est-à-dire l'élément non nul le plus à gauche d'une ligne ou de la matrice), et la forme paramétrique peut être déduite directement.