Une différence finie est une expression mathématique de la forme f ( x + b ) − f ( x + a ) . Les différences finies (ou les quotients de différence associés ) sont souvent utili...
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quotients de différence associés ) sont souvent utilisées comme approximations des dérivées, comme dans la différentiation numérique .
L' opérateur de différence , généralement noté Δ (avec une majuscule ) , est l' opérateur qui transforme une fonction équation aux différences finies est une équation fonctionnelle qui fait intervenir l'opérateur de différence finie de la même manière qu'une équation différentielle fait intervenir les dérivées . Il existe de nombreuses similitudes entre les équations aux différences finies et les équations différentielles. Certaines relations de récurrence peuvent être écrites sous forme d'équations aux différences finies en remplaçant la notation d'itération par des différences finies.
En analyse numérique , les différences finies sont largement utilisées pour l'approximation des dérivées , et le terme « différence finie » est souvent utilisé comme abréviation de « approximation des dérivées par différences finies ».
Les différences finies ont été introduites par Brook Taylor en 1715 et ont également été étudiées comme objets mathématiques abstraits et autonomes dans les travaux de George Boole (1860), L.M. Milne-Thomson (1933) et Jost Bürgi ( Isaac Newton . Le calcul formel des différences finies peut être considéré comme une alternative au calcul des infinitésimaux .
Les trois types de différences finies. La différence centrale par rapport à fonction
Par conséquent, la différence finie divisée par théorème de Taylor . En supposant que
La même formule s'applique à la différence rétrograde :
Cependant, la différence centrale (ou centrée) donne une approximation plus précise. Si
Le principal problème de la méthode des différences centrales réside dans le fait que les fonctions oscillantes peuvent avoir une dérivée nulle. Si méthode des différences centrales . Ceci est particulièrement problématique si le domaine de Dérivée symétrique .
Les auteurs pour qui les différences finies désignent des approximations par différences finies définissent les différences avant/arrière/centrales comme les quotients donnés dans cette section (au lieu d'utiliser les définitions données dans la section précédente).
Différences d'ordre supérieur
De même, nous pouvons appliquer d'autres formules de différenciation de manière récursive.
Deuxième ordre avant
Retour au second ordre
Plus généralement, les différences avant, arrière et centrales d'ordre
Les différences finies progressives appliquées à une suite sont parfois appelées transformation binomiale de la suite et possèdent plusieurs propriétés combinatoires intéressantes. Elles peuvent être évaluées à l'aide de l' intégrale de Nörlund-Rice . La représentation intégrale de ces types de séries est intéressante car l'intégrale peut souvent être calculée par développement asymptotique ou par la méthode du point-selle ; en revanche, le calcul numérique des séries de différences finies progressives peut s'avérer extrêmement difficile, car les coefficients binomiaux croissent rapidement pour de grandes valeurs
Les différences d'ordre supérieur permettent également d'obtenir de meilleures approximations. Comme indiqué précédemment, la différence du premier ordre approche la dérivée première à un terme d'ordre série de Taylor , ou en utilisant le calcul des différences finies, expliqué ci-dessous.
Si nécessaire, la différence finie peut être centrée autour de n'importe quel point en combinant des différences avant, arrière et centrales.
Parfois, les dérivées d'ordre inférieur d'une fonction sont connues analytiquement, mais pas les dérivées d'ordre supérieur. Dans ce cas, les dérivées d'ordre supérieur peuvent être approchées par une différence finie des dérivées d'ordre inférieur, ce qui est souvent plus précis et numériquement plus stable que la différence finie de la fonction
Après nombre réel marquant la différence arithmétique :
Seul le coefficient du terme d'ordre le plus élevé subsiste. Ce résultat étant constant par rapport à
Cela le prouve dans le cas de base.
Étape inductive
Soit
Soit
Comme
Ceci achève la preuve.
Application
Cette identité permet de trouver le polynôme de degré minimal qui intercepte un certain nombre de points
x
y
1
4
4
109
7
772
10
2641
13
6364
Nous pouvons utiliser un tableau des différences, où pour toutes les cellules à droite du premier
Pour trouver le premier terme, on peut utiliser le tableau suivant :
En résolvant pour
En résolvant pour
On constate que
Grains de taille arbitraire
algèbre linéaire permet de construire des approximations par différences finies utilisant un nombre arbitraire de points à gauche et un nombre (éventuellement différent) de points à droite du point d'évaluation, pour toute dérivée d'ordre quelconque. Ceci implique la résolution d'un système linéaire tel que le développement de Taylor de la somme des points autour du point d'évaluation approche au mieux le développement de Taylor de la dérivée recherchée. De telles formules peuvent être représentées graphiquement sur une grille hexagonale ou losangique. Cette approche est utile pour dériver une fonction sur une grille, où, à mesure que l'on s'approche du bord de la grille, le nombre de points échantillonnés d'un côté diminue. Des approximations par différences finies pour des grilles non standard (et même non entières) peuvent être construites, étant donné une grille arbitraire et un ordre de dérivée souhaité.
Les applications courantes de la méthode des différences finies se trouvent dans les disciplines des sciences et de l'ingénierie computationnelles, telles que le génie thermique , la mécanique des fluides , etc.
La série de Newton
La série de Newton est constituée des termes de l' équation aux différences finies de Newton , nommée d'après Isaac Newton ; en substance, il s'agit de la formule d'interpolation de Gregory-Newton (nommée d'après Isaac Newton et James Gregory ), publiée pour la première fois dans ses Principia Mathematica en 1687, à savoir l'analogue discret du développement continu de Taylor,
Cette propriété est valable pour toute fonction polynomiale fonctions analytiques (mais pas toutes) . (Elle n'est pas valable lorsque de type exponentiel . Cela se vérifie aisément, car la fonction sinus s'annule aux multiples entiers de ; la série de Newton correspondante est identiquement nulle, puisque toutes les différences finies sont nulles dans ce cas. Pourtant, il est clair que la fonction sinus n'est pas nulle.) Ici, l'expression représente le coefficient binomial , et représente la « factorielle décroissante » ou « factorielle inférieure », tandis que le produit vide le théorème de Taylor . Historiquement, ce résultat, ainsi que l' identité de Chu-Vandermonde ( qui en découle et correspond au théorème du binôme ), font partie des observations qui ont abouti au système du calcul ombral .
Les développements en série de Newton peuvent être supérieurs aux développements en série de Taylor lorsqu'ils sont appliqués à des quantités discrètes comme les spins quantiques (voir la transformation de Holstein-Primakoff ), les fonctions d'opérateur bosoniques ou les statistiques de comptage discrètes.
Pour illustrer comment utiliser la formule de Newton en pratique, considérons les premiers termes du doublement de la suite de Fibonacci polynôme qui reproduit ces valeurs en calculant d'abord un tableau des différences, puis en substituant dans la formule les différences correspondant à
Dans le cas de pas non uniformes dans les valeurs de différences divisées , la série de produits, et le polynôme résultant est le produit scalaire , 0,\\; j\\le \\max \\left( j \ ight)-k \ ight\\},\\qquad \\Delta 0_k = \\Delta _{0,k}" 0,\;j\leq \max \left(j ight)-k ight\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k
Dans l'analyse avec les nombres le théorème de Mahler stipule que l'hypothèse selon laquelle Le théorème de Carlson fournit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une série de Newton soit unique, si elle existe. Cependant, en général, une série de Newton n'existe pas.
La série de Newton, ainsi que les séries de Stirling et de Selberg , constituent un cas particulier des séries de différences générales , toutes définies en termes de différences progressives convenablement mises à l'échelle.
Sous une forme plus condensée et légèrement plus générale, et avec des nœuds équidistants, la formule se lit comme suit :
Calcul des différences finies
opérateur , appelé opérateur de différence , qui transforme la fonction opérateur de décalage avec pas opérateur identité .
La différence finie d'ordres supérieurs peut être définie de manière récursive comme opérateur linéaire , à ce titre il satisfait règle spéciale de Leibniz :
Des règles similaires à celles de Leibniz s'appliquent aux différences rétrogrades et centrales.
L'application formelle du développement de Taylor par rapport à des fonctions analytiques , pour polynôme fini ), l'expression est exacte, pour tout pas fini
Même pour les fonctions analytiques, la convergence de la série de droite n'est pas garantie ; il peut s'agir d'une série asymptotique . Cependant, elle permet d'obtenir des approximations plus précises de la dérivée. Par exemple, en ne conservant que les deux premiers termes de la série, on obtient l'approximation du second ordre de
Le calcul des différences finies est lié au calcul ombral de la combinatoire. Cette correspondance remarquablement systématique est due à l'identité des commutateurs des quantités ombrales avec leurs analogues du continuum ( limites
Un grand nombre de relations différentielles formelles du calcul standard impliquant des fonctions symbole k de Pochhammer ), de sorte que la formule d'interpolation de Newton ci-dessus (en faisant correspondre les coefficients dans le développement d'une fonction arbitraire
Une différence finie généralisée est généralement définie comme suit : où infinie . Une autre généralisation consiste à faire dépendre les coefficients modules de continuité .
La différence généralisée peut être vue comme les anneaux de polynômes l'inversion de Möbius sur un ensemble partiellement ordonné .
En tant qu'opérateur de convolution : via le formalisme des algèbres d'incidence , les opérateurs de différence et autres inversions de Möbius peuvent être représentés par convolution avec une fonction sur le poset, appelée fonction de Möbius dérivées partielles à plusieurs variables.
Voici quelques approximations de dérivées partielles :
Alternativement, pour les applications dans lesquelles le calcul de notation Big O désigne le comportement asymptotique), ou appels à la dérivée d'ordre - de la fonction (où ). Cependant, pour de nombreuses classes de fonctions, le tenseur de dérivée d'ordre - est creux, ou ses blocs hors diagonale peuvent être de faible rang. Dans ces cas, il existe des algorithmes capables d'estimer numériquement le tenseur de dérivée d'ordre - en utilisant moins d' appels à la dérivée d'ordre -, par exemple lorsque et ; dans ce dernier cas, il est possible d'estimer la matrice hessienne en utilisant uniquement les gradients , au lieu des gradients requis par l'algorithme des différences finies classique.
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0,\;j\leq \max \left(j ight)-k ight\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k