Worldlex Wiki En mathématiques , un point fixe (ou point invariant ) est une valeur qui ne change pas sous l'effet d'une transformation donnée . Plus précisément, pour les fonctions , un point fixe est un élément qui, appliqué à la fonction, est égal à lui-même. L'ensemble des points fixes d'une transformation est également un ensemble invariant .
domaine et au codomaine de des nombres réels , elle correspond graphiquement à une courbe du plan euclidien , et chaque point fixe nombres réels par alors 2 est un point fixe deThéorèmes du point fixe
Le théorème du point fixe de Brouwer (1911) stipule que toute fonction continue de la boule unité fermée dans l'espace euclidien à n dimensions vers elle-même doit avoir un point fixe, mais il ne décrit pas comment trouver le point fixe.
Le théorème du point fixe de Lefschetz (et le théorème du point fixe de Nielsen ) de la topologie algébrique donnent un moyen de compter les points fixes.
Point fixe d'une action de groupe
En algèbre , pour un groupe G agissant sur un ensemble X avec une action de groupe , x dans X est dit être un point fixe de g si .
Le sous-groupe de point fixe d'un automorphisme f d'un groupe G est le sous-groupe de G :
De même, le sous-anneau des points fixes d'un automorphisme f d'un anneau R est le sous-anneau des points fixes de f , c'est-à-dire,
En théorie de Galois , l'ensemble des points fixes d'un ensemble d'automorphismes d'un corps est appelé le corps fixe de l'ensemble d'automorphismes.
propriété de point fixe topologique
Points fixes des ordres partiels
En théorie des domaines , la notion et la terminologie de points fixes sont généralisées à un ordre partiel . Soit ≤ un ordre partiel sur un ensemble X et soit f : X → X une fonction sur X. Alors, un point préfixé (ou point préfixe ) de f est tout point p tel que f ( p ) ≤ p . De même, un point postfixé de f est tout point informatique théorique .
Point fixe minimal
Une façon d'exprimer le théorème de Knaster-Tarski est de dire qu'une fonction monotone sur un réseau complet a un plus petit point fixe qui coïncide avec son plus petit préfixe (et de même son plus grand point fixe coïncide avec son plus grand postfixe).
Combinateur à point fixe
Logiques à virgule fixe
Applications
- En géométrie projective , un point fixe d'une projectivité a été appelé point double .
- En économie , un équilibre de Nash d'un jeu est un point fixe de la correspondance entre les meilleures réponses du jeu . John Nash a exploité le théorème du point fixe de Kakutani dans son article fondamental qui lui a valu le prix Nobel d'économie.
- En physique , plus précisément dans la théorie des transitions de phase , la linéarisation près d'un point fixe instable a conduit aux travaux de Wilson , récompensés par le prix Nobel, qui ont inventé le groupe de renormalisation , et à l'explication mathématique du terme « phénomène critique ».
- Les compilateurs de langages de programmation utilisent des calculs en virgule fixe pour l'analyse des programmes, par exemple dans l'analyse du flux de données , souvent nécessaire à l'optimisation du code . Ils constituent également le concept central de la méthode d'analyse générique des programmes par interprétation abstraite .
- En théorie des types , le combinateur de point fixe permet la définition de fonctions récursives dans le lambda-calcul non typé .
- Le vecteur des valeurs PageRank de toutes les pages web est le point fixe d'une transformation linéaire dérivée de la structure des liens du World Wide Web .
- La distribution stationnaire d'une chaîne de Markov est le point fixe de la fonction de probabilité de transition à une étape.
- Les points fixes sont utilisés pour trouver des formules pour les fonctions itérées .