Cokernel

Le conoyau d'une application linéaire d' espaces vectoriels f : X → Y est l' espace quotient Y / im( f ) du codomaine de f par l'image de f . La dimension du conoyau est appelée corang de f .

Les co-noyaux sont duaux des noyaux de la théorie des catégories , d'où leur nom : le noyau est un sous-objet du domaine (il correspond au domaine), tandis que le co-noyau est un objet quotient du codomaine (il correspond au codomaine).

Intuitivement, étant donné une équation f ( x ) = y que l'on cherche à résoudre, le noyau mesure les contraintes que y doit satisfaire pour que cette équation ait une solution – les obstacles à une solution – tandis que le noyau mesure les degrés de liberté dans une solution, s'il en existe une. Ceci est développé dans l'intuition, ci-dessous.

Plus généralement, le noyau d'un morphisme f : X → Y dans une certaine catégorie (par exemple un homomorphisme entre groupes ou un opérateur linéaire borné entre espaces de Hilbert ) est un objet Q et un morphisme q : Y → Q tels que la composition qf soit le morphisme nul de la catégorie, et de plus q soit universel par rapport à cette propriété. Souvent, l'application q est comprise, et Q elle-même est appelée le noyau de f .

Dans de nombreuses situations en algèbre abstraite , comme pour les groupes abéliens , les espaces vectoriels ou les modules , le noyau de l' homomorphisme f : X → Y est le quotient de Y par l' image de f . Dans les contextes topologiques , comme avec les opérateurs linéaires bornés entre espaces de Hilbert, il faut généralement prendre la clôture de l'image avant de passer au quotient.

On peut définir le conoyau dans le cadre général de la théorie des catégories . Pour que la définition ait un sens, la catégorie en question doit avoir zéro morphisme . Le conoyau d'un morphisme f : X → Y est défini comme le coégaliseur de f et du morphisme nul 0 _XY : X → Y .

Explicitement, cela signifie ce qui suit. Le noyau de f : X → Y est un objet Q avec un morphisme q : Y → Q tel que le diagramme

commute . De plus, le morphisme q doit être universel pour ce diagramme, c'est-à-dire que tout autre tel q ′ : Y → Q ′ peut être obtenu en composant q avec un unique morphisme u : Q → Q ′ :

Comme pour toutes les constructions universelles, le conoyau, s'il existe, est unique à un unique isomorphisme près , ou plus précisément : si q : Y → Q et q ′ : Y → Q ′ sont deux conoyaux de f : X → Y , alors il existe un unique isomorphisme u : Q → Q ′ avec q' = u q .

Comme tous les coégaliseurs, le conoyau q : Y → Q est nécessairement un épimorphisme . Inversement un épimorphisme est dit normal (ou conormal ) s'il est le conoyau d'un morphisme. Une catégorie est dite conormale si tout épimorphisme est normal (par exemple la catégorie des groupes est conormale).

Dans la catégorie des groupes , le conoyau d'un homomorphisme de groupe f : G → H est le quotient de H par la fermeture normale de l'image de f . Dans le cas des groupes abéliens , comme tout sous-groupe est normal, le conoyau est simplement H modulo l'image de f :

Dans une catégorie préadditive , il est logique d'ajouter et de soustraire des morphismes. Dans une telle catégorie, le coégaliseur de deux morphismes f et g (s'il existe) n'est que le conoyau de leur différence :

Dans une catégorie abélienne (un type particulier de catégorie préadditive), l' image et la coimage d'un morphisme f sont données par

En particulier, toute catégorie abélienne est normale (et également conormale). Autrement dit, tout monomorphisme m peut s'écrire comme le noyau d'un morphisme. Plus précisément, m est le noyau de son propre conoyau :

Le conoyau peut être considéré comme l'espace des contraintes qu'une équation doit satisfaire, comme l'espace des obstructions , tout comme le noyau est l'espace des solutions.

Formellement, on peut relier le noyau et le conoyau d'une application T : V → W par la suite exacte

Celles-ci peuvent être interprétées ainsi : étant donné une équation linéaire T ( v ) = w à résoudre,

• le noyau est l'espace des solutions de l' équation homogène T ( v ) = 0 , et sa dimension est le nombre de degrés de liberté dans les solutions de T ( v ) = w , s'ils existent ;
• le noyau est l'espace des contraintes sur w qui doivent être satisfaites pour que l'équation ait une solution, et sa dimension est le nombre de contraintes indépendantes qui doivent être satisfaites pour que l'équation ait une solution.

La dimension du noyau plus la dimension de l'image (le rang) s'ajoutent à la dimension de l'espace cible, car la dimension de l'espace quotient W / T ( V ) est simplement la dimension de l'espace moins la dimension de l'image.

À titre d'exemple simple, considérons l'application T : R ² → R ² , donnée par T ( x , y ) = (0, y ) . Alors, pour qu'une équation T ( x , y ) = ( a , b ) ait une solution, nous devons avoir a = 0 (une contrainte), et dans ce cas, l'espace de solution est ( x , b ) , ou de manière équivalente, (0, b ) + ( x , 0) , (un degré de liberté). Le noyau peut être exprimé comme le sous-espace ( x , 0) ⊆ V : la valeur de x est la liberté dans une solution. Le conoyau peut être exprimé via l'application à valeurs réelles W : ( a , b ) → ( a ) : étant donné un vecteur ( a , b ) , la valeur de a est l' obstacle à l'existence d'une solution.

De plus, le conoyau peut être considéré comme quelque chose qui « détecte » les surjections de la même manière que le noyau « détecte » les injections . Une application est injective si et seulement si son noyau est trivial, et une application est surjective si et seulement si son conoyau est trivial, ou en d'autres termes, si W = im( T ) .