Worldlex Wiki En théorie des catégories , une branche des mathématiques , un sous-objet est, en résumé, un objet contenu dans un autre objet de la même catégorie . Cette notion généralise des concepts tels que les sous-ensembles en théorie des ensembles , les sous-groupes en théorie des groupes [ les sous-espaces en topologie . Puisque la structure détaillée des objets est sans importance en théorie des catégories, la définition de sous-objet repose sur un morphisme qui décrit comment un objet est inclus dans un autre, plutôt que sur l'utilisation d'éléments.
Le concept dual d'un sous-objet est unobjet quotient . Ceci généralise des concepts tels queles ensembles quotients,les groupes quotients,les espaces quotients,les graphes quotients, etc.
Définitions
La définition catégorielle appropriée du terme « sous-objet » peut varier selon le contexte et l’objectif. Voici une définition courante :
En détail, laissezsoit un objet d'une certaine catégorie. Étant donné deux monomorphismes
avec codomaine, nous définissons une relation d'équivalence par
De manière équivalente, nous écrivons
est une relation d'équivalence sur les monomorphismes avec codomaine, et les classes d'équivalence correspondantes de ces monomorphismes sont les sous-objets de.
La relation ≤ induit un ordre partiel sur la collection des sous-objets de
L'ensemble des sous-objets d'un objet peut en fait constituer une classe propre ; cela signifie que la discussion présentée est quelque peu souple. Si l'ensemble des sous-objets de tout objet est un ensemble , la catégorie est dite bien puissante ou, plus rarement, localement petite (ceci entre en conflit avec un autre usage du terme « localement petite » , à savoir qu'il existe un ensemble de morphismes entre deux objets quelconques).
Pour obtenir le concept dual d' objet quotient , remplacez « monomorphisme » par « épimorphisme » ci-dessus et inversez les flèches. Un objet quotient de A est alors une classe d'équivalence d'épimorphismes de domaine A.
Cependant, dans certains contextes, ces définitions sont inadéquates car elles ne concordent pas avec les notions bien établies de sous-objet ou d'objet quotient. Dans la catégorie des espaces topologiques, les monomorphismes sont précisément les fonctions continues injectives ; mais toutes les fonctions continues injectives ne sont pas des plongements dans des sous-espaces. Dans la catégorie des anneaux, l'inclusion
Interprétation
Cette définition correspond à la compréhension ordinaire d'un sous-objet en dehors de la théorie des catégories. Lorsque les objets de la catégorie sont des ensembles (éventuellement munis de structures supplémentaires, telles qu'une structure de groupe) et que les morphismes sont des fonctions d'ensembles (préservant ces structures supplémentaires), on conçoit un monomorphisme en termes d'image. Une classe d'équivalence de monomorphismes est déterminée par l'image de chaque monomorphisme de cette classe ; autrement dit, deux monomorphismes f et g en un objet T sont équivalents si et seulement si leurs images sont le même sous-ensemble (donc le même sous-objet) de T. Dans ce cas, il y a isomorphisme.
Exemples
- Mac Lane, Saunders (1998), « Categories for the Working Mathematician » , Graduate Texts in Mathematics , vol. 5 (2e éd.), New York, NY : Springer-Verlag , ISBN0-387-98403-8, Zbl 0906.18001
- Pedicchio, Maria Cristina ; Tholen, Walter, éd. (2004). Fondements catégoriques. Sujets spéciaux en ordre, topologie, algèbre et théorie des faisceaux . Encyclopédie des mathématiques et de ses applications. Vol. 97. Cambridge : Cambridge University Press . ISBN0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .