Géométrie arithmétique

En mathématiques, la géométrie arithmétique est en gros l'application des techniques de la géométrie algébrique aux problèmes de la théorie des nombres . La géométrie arithmétique est centrée sur la géométrie diophantienne , l'étude des points rationnels des variétés algébriques .

En termes plus abstraits, la géométrie arithmétique peut être définie comme l'étude des schémas de type fini sur le spectre de l' anneau des entiers .

Les objets classiques d'intérêt en géométrie arithmétique sont les points rationnels : ensembles de solutions d'un système d'équations polynomiales sur des corps de nombres , des corps finis , des corps p-adiques ou des corps de fonctions , c'est-à-dire des corps qui ne sont pas algébriquement clos à l'exclusion des nombres réels . Les points rationnels peuvent être directement caractérisés par des fonctions de hauteur qui mesurent leur complexité arithmétique.

La structure des variétés algébriques définies sur des corps non algébriquement clos est devenue un domaine d'intérêt central qui a émergé avec le développement abstrait moderne de la géométrie algébrique. Sur les corps finis, la cohomologie étale fournit des invariants topologiques associés aux variétés algébriques. La théorie p-adique de Hodge donne des outils pour examiner quand les propriétés cohomologiques des variétés sur les nombres complexes s'étendent à celles sur les corps p-adiques .

Au début du XIXe siècle, Carl Friedrich Gauss a observé que des solutions entières non nulles aux équations polynomiales homogènes à coefficients rationnels existent si des solutions rationnelles non nulles existent.

Dans les années 1850, Leopold Kronecker formule le théorème de Kronecker-Weber , introduit la théorie des diviseurs et établit de nombreux autres liens entre la théorie des nombres et l'algèbre . Il conjecture ensuite son « liebster Jugendtraum » (« rêve le plus cher de la jeunesse »), une généralisation qui sera plus tard proposée par Hilbert sous une forme modifiée comme son douzième problème , qui décrit un objectif de faire fonctionner la théorie des nombres uniquement avec des anneaux qui sont des quotients d' anneaux polynomiaux sur les entiers.

À la fin des années 1920, André Weil a démontré des liens profonds entre la géométrie algébrique et la théorie des nombres avec son travail de doctorat conduisant au théorème de Mordell-Weil qui démontre que l'ensemble des points rationnels d'une variété abélienne est un groupe abélien de type fini .

Les fondements modernes de la géométrie algébrique ont été développés sur la base de l'algèbre commutative contemporaine , y compris la théorie de la valorisation et la théorie des idéaux par Oscar Zariski et d'autres dans les années 1930 et 1940.

En 1949, André Weil a posé les conjectures de Weil sur les fonctions zêta locales des variétés algébriques sur les corps finis. Ces conjectures ont offert un cadre entre la géométrie algébrique et la théorie des nombres qui a poussé Alexander Grothendieck à refondre les fondements en utilisant la théorie des faisceaux (avec Jean-Pierre Serre ), puis la théorie des schémas, dans les années 1950 et 1960. Bernard Dwork a prouvé l'une des quatre conjectures de Weil (rationalité de la fonction zêta locale) en 1960. Grothendieck a développé la théorie de la cohomologie étale pour prouver deux des conjectures de Weil (avec Michael Artin et Jean-Louis Verdier ) en 1965. La dernière des conjectures de Weil (un analogue de l' hypothèse de Riemann ) serait finalement prouvée en 1974 par Pierre Deligne .

Entre 1956 et 1957, Yutaka Taniyama et Goro Shimura ont posé la conjecture de Taniyama-Shimura (maintenant connue sous le nom de théorème de modularité) reliant les courbes elliptiques aux formes modulaires . Cette connexion conduirait finalement à la première preuve du dernier théorème de Fermat en théorie des nombres grâce aux techniques de géométrie algébrique de levage de modularité développées par Andrew Wiles en 1995.

Dans les années 1960, Goro Shimura a introduit les variétés de Shimura comme généralisations des courbes modulaires . Depuis 1979, les variétés de Shimura ont joué un rôle crucial dans le programme de Langlands en tant que domaine naturel d'exemples pour tester les conjectures.

Dans des articles de 1977 et 1978, Barry Mazur a démontré la conjecture de torsion en donnant une liste complète des sous-groupes de torsion possibles des courbes elliptiques sur les nombres rationnels. La première preuve de ce théorème par Mazur reposait sur une analyse complète des points rationnels sur certaines courbes modulaires . En 1996, la preuve de la conjecture de torsion a été étendue à tous les corps de nombres par Loïc Merel .

En 1983, Gerd Faltings a prouvé la conjecture de Mordell , démontrant qu'une courbe de genre supérieur à 1 n'a qu'un nombre fini de points rationnels (alors que le théorème de Mordell-Weil ne démontre que la génération finie de l'ensemble des points rationnels par opposition à la finitude).

En 2001, la preuve des conjectures de Langlands locales pour GL _n était basée sur la géométrie de certaines variétés de Shimura.

Dans les années 2010, Peter Scholze a développé des espaces perfectoïdes et de nouvelles théories de cohomologie en géométrie arithmétique sur des corps p-adiques avec application aux représentations de Galois et à certains cas de la conjecture de monodromie de poids .