Worldlex Wiki L' erreur d'approximation d'une donnée représente l'écart significatif qui apparaît lorsqu'on compare sa valeur exacte à une approximation qui en est issue. Cette erreur inhérente à l'approximation peut être quantifiée et exprimée de deux manières principales : soit comme une erreur absolue , qui indique la valeur numérique directe de cet écart indépendamment de l'échelle de la valeur exacte, soit comme une erreur relative , qui fournit une mesure pondérée de l'erreur en considérant l'erreur absolue par rapport à la valeur exacte, offrant ainsi une évaluation de l'importance de l'erreur en fonction du contexte.
Une erreur d'approximation peut se manifester pour une multitude de raisons. Parmi les plus importantes figurent les limitations liées à la précision des machines à calculer : les systèmes numériques ne peuvent pas représenter tous les nombres réels avec une exactitude parfaite, ce qui entraîne inévitablement des troncatures ou des arrondis. Une autre source fréquente est l'erreur de mesure inhérente , due aux limitations pratiques des instruments, aux facteurs environnementaux ou aux processus d'observation (par exemple, si la longueur réelle d'une feuille de papier est précisément de 4,53 cm, mais que la règle graduée ne permet qu'une estimation au 0,1 cm près, cette contrainte pourrait conduire à une mesure enregistrée de 4,5 cm, introduisant ainsi une erreur).
En analyse numérique , le concept crucial de stabilité numérique associé à un algorithme permet d'évaluer dans quelle mesure les erreurs ou perturbations initiales présentes dans les données d'entrée sont susceptibles de se propager et de s'amplifier , engendrant potentiellement des erreurs substantielles dans le résultat final. Les algorithmes dits numériquement stables sont robustes en ce sens qu'ils ne produisent pas d'erreur significativement amplifiée dans leur résultat, même lorsque les données d'entrée sont légèrement déformées ou contiennent des imprécisions mineures. À l'inverse, les algorithmes numériquement instables peuvent présenter une augmentation importante de l'erreur suite à de petites variations des données d'entrée, rendant ainsi leurs résultats peu fiables.
où les barres verticales, | |, désignent sans ambiguïté la valeur absolue de la différence entre la valeur réelle v et son approximation v <sub>approx</sub> . Cette opération mathématique indique l'ampleur de l'erreur, que l'approximation soit une surestimation ou une sous-estimation.
De même, nous affirmons que v approx approxime la valeur v où l'amplitude de l' erreur relative est bornée par une valeur positive η (c'est-à -dire η > 0), à condition que v ne soit pas nul ( v ≠ 0), si l'inégalité suivante est satisfaite :
Cette définition garantit que η constitue une borne supérieure du rapport entre l'erreur absolue et la valeur réelle. Si v ≠ 0, l' erreur relative réelle , souvent également notée η dans son contexte (représentant la valeur calculée plutôt qu'une borne), est calculée précisément comme suit :
Notez que le premier terme de l'équation ci-dessus définit implicitement `ε` comme `|v-v_approx|` si `η` est `ε/|v|`.
L' erreur relative en pourcentage , souvent notée δ , est une manière courante et intuitive d'exprimer l'erreur relative, ce qui permet de convertir la valeur de l'erreur relative en pourcentage pour faciliter l'interprétation et la comparaison dans différents contextes :
Une borne d'erreur définit rigoureusement une limite supérieure établie pour l'amplitude relative ou absolue d'une erreur d'approximation. Une telle borne fournit ainsi une garantie formelle sur l'écart maximal possible entre l'approximation et la valeur réelle, ce qui est essentiel dans les applications exigeant des niveaux de précision connus.
Exemples
Pour illustrer ces concepts par un exemple numérique, considérons le cas où la valeur exacte et acceptée est de 50, et son approximation correspondante est de 49,9. Dans ce cas précis, l'erreur absolue est de 0,1 (calculée comme |50 − 49,9|), et l'erreur relative est calculée en divisant l'erreur absolue 0,1 par la valeur réelle 50, ce qui est égal à 0,002. Cette erreur relative peut également être exprimée comme 0,2 %. Dans un contexte plus pratique, comme lors de la mesure du volume de liquide dans un bécher de 6 mL, si l'instrument indique 5 mL alors que le volume réel est de 6 mL, l'erreur relative pour cette mesure, arrondie à une décimale, est d'environ 16,7 % (calculée comme |(6 mL − 5 mL) / 6 mL| × 100 %).
L'utilité de l'erreur relative devient particulièrement évidente lorsqu'elle est employée pour comparer la qualité d'approximations de nombres d'ordres de grandeur très différents. Par exemple, une approximation du nombre 1 000 avec une erreur absolue de 3 donne une erreur relative de 0,003 (soit 0,3 %). Dans la plupart des applications scientifiques ou d'ingénierie, cette approximation est considérée comme nettement moins précise que l'approximation du nombre beaucoup plus grand 1 000 000 avec une erreur absolue identique de 3. Dans ce dernier cas, l'erreur relative n'est que de 0,000003 (soit 0,0003 %). Dans le premier cas, l'erreur relative est de 0,003, tandis que dans le second, plus favorable, elle est considérablement plus faible : seulement 0,000003. Cette comparaison met clairement en évidence comment l'erreur relative offre une évaluation de la précision plus pertinente et adaptée au contexte, notamment lorsqu'il s'agit de valeurs d'ordres de grandeur différents.
Deux points essentiels, ou mises en garde, relatifs à l'interprétation et à l'application de l'erreur relative doivent toujours être pris en compte. Premièrement, l'erreur relative devient mathématiquement indéfinie lorsque la valeur réelle ( v ) est nulle, car cette valeur réelle figure au dénominateur de son calcul (comme détaillé dans la définition formelle ci-dessus), et la division par zéro est une opération indéfinie. Deuxièmement, le concept d'erreur relative est véritablement pertinent et interprétable de manière cohérente uniquement lorsque les mesures considérées sont effectuées sur une échelle de rapport . Ce type d'échelle est caractérisé par la présence d'un zéro réel et non arbitraire, qui signifie l'absence totale de la grandeur mesurée. Si cette condition d'une échelle de rapport n'est pas remplie (par exemple, lors de l'utilisation d'échelles d'intervalles comme la température en degrés Celsius), l'erreur relative calculée peut devenir très sensible au choix des unités de mesure, ce qui peut conduire à des interprétations erronées. Par exemple, si l'erreur absolue dans une mesure de température donnée en degrés Celsius est de 1 °C et que la valeur réelle est de 2 °C, l'erreur relative est de 0,5 (ou 50 %, calculée comme |1 °C / 2 °C|). Cependant, si cette même approximation, représentant la même différence de température physique, est effectuée en utilisant l' échelle Kelvin (qui est une échelle de rapport où 0 K représente le zéro absolu), une erreur absolue de 1 K (équivalente en ordre de grandeur à une erreur de 1 °C) avec la même valeur réelle de 275,15 K (équivalente à 2 °C) donne une erreur relative sensiblement différente d'environ 0,00363, soit environ 3,63 théorie de la complexité algorithmique , on définit qu'une valeur réelle v est calculable en temps polynomial avec une erreur absolue à partir d'une entrée donnée si, pour tout nombre rationnel ε > 0 spécifié représentant l'erreur absolue maximale admissible, il est algorithmiquement possible de calculer un nombre rationnel v <sub>approx</sub> tel que v <sub>approx </sub> approche v avec une erreur absolue inférieure ou égale à ε (formellement, | v − v<sub> approx</sub> | ≤ ε ). De manière cruciale, ce calcul doit être réalisable en un temps polynomial par rapport à la taille des données d'entrée et à la taille de codage de ε (cette dernière étant typiquement de l'ordre de O(log(1/ ε )) bits, reflétant le nombre de bits nécessaires pour représenter la précision). De même, la valeur v est considérée comme calculable de manière polynomiale avec une erreur relative si, pour tout nombre rationnel η > 0 spécifié représentant l'erreur relative maximale admissible, il est possible de calculer un nombre rationnel v <sub>approx</sub> qui approche v avec une erreur relative inférieure ou égale à η (formellement, |( v − v<sub> approx</sub> )/ v | ≤ η , en supposant v ≠ 0). Ce calcul, comme dans le cas de l'erreur absolue, doit également être réalisable en un temps polynomial en la taille des données d'entrée et la taille de codage de η (typiquement O(log(1/ η )) bits).
On peut démontrer que si une valeur v est calculable en temps polynomial avec une erreur relative (à l'aide d'un algorithme que l'on peut désigner par REL), alors elle est également calculable en temps polynomial avec une erreur absolue. Esquisse de la démonstration : Soit ε > 0 l'erreur absolue maximale cible. La procédure commence par l'application de l'algorithme REL avec une borne d'erreur relative choisie, par exemple η = 1/2. Cette étape initiale vise à trouver une approximation rationnelle r₁ telle que l'inégalité | v − r₁ | ≤ | v |/2 soit vérifiée. De cette relation, en appliquant l'inégalité triangulaire inverse (| v | − | r₁ | ≤ | v − r₁ | ) , on peut déduire que | v | ≤ 2| r₁ | . (Ceci est valable en supposant r₁ ≠ 0 ; si r₁ = 0, la condition d'erreur relative implique que v doit également être nul, auquel cas le problème d'obtenir une erreur absolue ε > 0 est trivial, car v ≈ 0 fonctionne, et le problème est résolu.) Étant donné que l'algorithme REL s'exécute en temps polynomial, la longueur d'encodage de r₁ calculé sera nécessairement polynomiale par rapport à la taille de l'entrée. Ensuite, l'algorithme REL est appelé une seconde fois, avec une nouvelle cible d'erreur relative, généralement beaucoup plus petite, fixée à η des vecteurs , des matrices ou, plus généralement, des éléments d'un espace vectoriel normé de dimension n . Cette importante généralisation est généralement obtenue en remplaçant systématiquement la fonction valeur absolue (qui mesure la magnitude ou la « taille » des nombres scalaires) par une norme vectorielle ou matricielle appropriée . Parmi ces normes , on peut citer la norme L₁ ( somme des valeurs absolues des composantes), la norme L₂ ( norme euclidienne, ou racine carrée de la somme des carrés des composantes) et la norme L∞ ( valeur absolue maximale des composantes). Ces normes permettent de quantifier la « distance » ou la « différence » entre le vecteur (ou la matrice) réel et son approximation dans un espace multidimensionnel, autorisant ainsi des définitions analogues de l'erreur absolue et relative dans ces contextes de dimension supérieure. Par exemple, en traitement d'images , où les images sont souvent représentées sous forme de matrices, la norme de Frobenius est fréquemment utilisée pour quantifier la différence globale entre une image originale et une version compressée ou reconstruite. En modélisation statistique avec des données vectorielles, cette norme est couramment employée pour évaluer les performances d'un modèle en raison de ses propriétés analytiques.