Gradient de potentiel

En physique , chimie et biologie , un gradient de potentiel est le taux de variation local du potentiel par rapport au déplacement , c'est-à-dire à la dérivée spatiale ou au gradient . Cette quantité apparaît fréquemment dans les équations des processus physiques car elle conduit à une certaine forme de flux .

La définition la plus simple d'un gradient potentiel F dans une dimension est la suivante :

où ϕ ( x ) est un type de potentiel scalaire et x est le déplacement (et non la distance ) dans la direction x , les indices désignent deux positions différentes x ₁ , x ₂ et les potentiels à ces points, ϕ ₁ = ϕ ( x ₁ ), ϕ ₂ = ϕ ( x ₂ ) . Dans la limite des déplacements infinitésimaux , le rapport des différences devient un rapport des différentiels :

La direction du gradient de potentiel électrique est de à .

En trois dimensions , les coordonnées cartésiennes montrent clairement que le gradient de potentiel résultant est la somme des gradients de potentiel dans chaque direction :

où e _x , e _y , e _z sont des vecteurs unitaires dans les directions x, y, z . Ceci peut être écrit de manière compacte en termes de l' opérateur de gradient ∇ ,

bien que cette forme finale soit valable dans tout système de coordonnées curvilignes , pas seulement cartésiennes.

Cette expression représente une caractéristique significative de tout champ vectoriel conservateur F , à savoir que F a un potentiel correspondant ϕ .

En utilisant le théorème de Stokes , cela s'exprime de manière équivalente comme suit :

ce qui signifie que la courbure , notée ∇×, du champ vectoriel s'annule.

Dans le cas du champ gravitationnel g , dont on peut montrer qu'il est conservateur, il est égal au gradient du potentiel gravitationnel Φ :

Il existe des signes opposés entre le champ gravitationnel et le potentiel, car le gradient de potentiel et le champ sont de direction opposée : lorsque le potentiel augmente, l'intensité du champ gravitationnel diminue et vice versa.

En électrostatique , le champ électrique E est indépendant du temps t , il n'y a donc pas d'induction d'un champ magnétique B dépendant du temps selon la loi d'induction de Faraday :

ce qui implique que E est le gradient du potentiel électrique V , identique au champ gravitationnel classique :

En électrodynamique , le champ E dépend du temps et induit également un champ B dépendant du temps (toujours selon la loi de Faraday), de sorte que la courbure de E n'est pas nulle comme auparavant, ce qui implique que le champ électrique n'est plus le gradient du potentiel électrique. Un terme dépendant du temps doit être ajouté :

où A est le potentiel vecteur électromagnétique . Cette dernière expression du potentiel réduit en fait la loi de Faraday à une identité.

En mécanique des fluides , le champ de vitesse v décrit le mouvement du fluide. Un écoulement irrotationnel signifie que le champ de vitesse est conservateur, ou de manière équivalente, que le champ pseudovecteur de vorticité ω est nul :

Cela permet de définir simplement le potentiel de vitesse comme :

Dans une demi-cellule électrochimique , à l'interface entre l' électrolyte (une solution ionique ) et l' électrode métallique , la différence de potentiel électrique standard est :

où R = constante des gaz , T = température de la solution, z = valence du métal, e = charge élémentaire , N _A = constante d'Avogadro et a _{M ^{+ z}} est l' activité des ions en solution. Les quantités avec un exposant ⊖ indiquent que la mesure est effectuée dans des conditions standard . Le gradient de potentiel est relativement abrupt, car il existe une limite presque définie entre le métal et la solution, d'où le terme d'interface.

En biologie , un gradient de potentiel est la différence nette de charge électrique à travers une membrane cellulaire .

Les gradients de potentiel correspondant à des champs physiques , il n'y a aucune différence si une constante est ajoutée (elle est effacée par l'opérateur de gradient ∇ qui inclut la différentiation partielle ). Cela signifie qu'il n'y a aucun moyen de dire quelle est la « valeur absolue » du potentiel – la valeur zéro du potentiel est complètement arbitraire et peut être choisie n'importe où par commodité (même « à l'infini »). Cette idée s'applique également aux potentiels vectoriels et est exploitée dans la théorie classique des champs et également dans la théorie des champs de jauge .

Les valeurs absolues des potentiels ne sont pas physiquement observables, seuls les gradients et les différences de potentiel dépendant du chemin le sont. Cependant, l' effet Aharonov-Bohm est un effet de la mécanique quantique qui illustre que des potentiels électromagnétiques non nuls le long d'une boucle fermée (même lorsque les champs E et B sont nuls partout dans la région) entraînent des changements dans la phase de la fonction d'onde d'une particule chargée électriquement dans la région, de sorte que les potentiels semblent avoir une signification mesurable.

Les équations de champ , telles que les lois de Gauss pour l'électricité , pour le magnétisme et pour la gravité , peuvent s'écrire sous la forme :

où ρ est la densité de charge électrique , la densité du monopole (si elles existent) ou la densité de masse et X est une constante (en termes de constantes physiques G , ε ₀ , μ ₀ et d'autres facteurs numériques).

Les gradients de potentiel scalaire conduisent à l'équation de Poisson :

Une théorie générale des potentiels a été développée pour résoudre cette équation du potentiel. Le gradient de cette solution donne le champ physique, résolvant l'équation du champ.