Noyau de Poisson

Le disque unité peut être transformé conformément au demi-plan supérieur au moyen de certaines transformations de Möbius . Puisque l'application conforme d'une fonction harmonique est elle-même harmonique, le noyau de Poisson se prolonge dans le demi-plan supérieur. Dans ce cas, l'équation intégrale de Poisson prend la forme suivante : 0." $0.\mathrm{vous}(x+\mathrm{je}y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{P}_y(x-t)f\left(t\right)dt,y>0.$0.

Le noyau lui-même est donné par

Étant donné une fonction , l' espace L ^p des fonctions intégrables sur la droite réelle, u peut être vu comme un prolongement harmonique de f dans le demi-plan supérieur. Par analogie avec le cas du disque, lorsque u est holomorphe dans le demi-plan supérieur, alors u est un élément de l'espace de Hardy, et en particulier,

Ainsi, encore une fois, l'espace de Hardy H ^p sur le demi-plan supérieur est un espace de Banach et, en particulier, sa restriction à l'axe réel est un sous-espace fermé de . La situation n'est analogue qu'au cas du disque unité ; la mesure de Lebesgue pour le cercle unité est finie, alors que celle pour la droite réelle ne l'est pas.

Pour la boule de rayon, le noyau de Poisson prend la forme où (la surface de ), et est la surface de la sphère unitaire ( n − 1) .

Alors, si u ( x ) est une fonction continue définie sur S , l'intégrale de Poisson correspondante est la fonction P [ u ]( x ) définie par

Il peut être démontré que P [ u ]( x ) est harmonique sur la boule et que P [ u ]( x ) s'étend à une fonction continue sur la boule fermée de rayon r , et que la fonction limite coïncide avec la fonction originale u .

On peut également obtenir une expression pour le noyau de Poisson d'un demi-espace supérieur . Notons les coordonnées cartésiennes standard de . Le demi-espace supérieur est l'ensemble défini par . Le noyau de Poisson pour H ^{n +1} est donné par , où 0 \ ight\\}." $0\; ight\backslash \}.H^{n+1}=\left\{(t;x)\in R^{n+1}\mid t>0\right\}.$0 ight\}.

Le noyau de Poisson pour le demi-espace supérieur apparaît naturellement comme la transformée de Fourier de la transformée d'Abel , où t joue le rôle de paramètre auxiliaire. En particulier, il ressort clairement des propriétés de la transformée de Fourier que, formellement au moins, la convolution est une solution de l'équation de Laplace dans le demi-plan supérieur. On peut également montrer que lorsque

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