Noyau de sommabilité

En mathématiques, un noyau de sommabilité est une famille ou une suite de fonctions intégrables périodiques satisfaisant un ensemble de propriétés, énumérées ci-dessous. Certains noyaux, comme le noyau de Fejér , sont particulièrement utiles en analyse de Fourier . Les noyaux de sommabilité sont liés à l'approximation de l'identité ; les définitions d'une approximation de l'identité varient , mais on considère parfois que la définition d'une approximation de l'identité est identique à celle d'un noyau de sommabilité.

Définition

Soit . Un noyau de sommabilité est une suite dans qui satisfait ${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>:=</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (k_{n}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (k_{n})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} ) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow></msub><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M <semantics><mrow><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt o 0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><mi>δ</mi><mo>≤</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>t</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt o 0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n o \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n o \infty }</annotation></semantics></math><img src=$ $0 δ > 0$ 0

Notez que si pour tout , c'est-à-dire est un noyau de sommabilité positif , alors la deuxième condition découle automatiquement de la première. ${\displaystyle k_{n}\geq 0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k_{n}\geq 0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (k_{n}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (k_{n})}</annotation></semantics></math><img src=$

Avec la convention la plus courante , la première équation devient , et la borne supérieure d'intégration de la troisième équation doit être étendue à , de sorte que la condition 3 ci-dessus soit vérifiée. ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mo>∫</mo><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow></msub><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \pi <semantics><mrow><mstyle><mi>π</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \pi }</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt o 0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><mi>δ</mi><mo>≤</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>t</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><mi>π</mi></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt o 0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n o \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n o \infty }</annotation></semantics></math><img src=$ $0 δ > 0$ 0

Cela exprime le fait que la masse se concentre autour de l'origine à mesure qu'elle augmente. ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

On peut également considérer plutôt que ; alors (1) et (2) sont intégrés sur , et (3) sur . ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {T} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>T</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {T} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ $\delta | t | > δ$ \delta

Exemples

Le noyau de Fejér
Le noyau de Poisson (indice continu)
Le noyau de Landau
Le noyau de Dirichlet n'est pas un noyau de sommabilité, puisqu'il ne satisfait pas à la deuxième condition.

Convolutions

Soit un noyau de sommabilité, et notons l' opération de convolution . ${\displaystyle (k_{n}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (k_{n})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle * <semantics><mrow><mstyle><mo>∗</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle *}</annotation></semantics></math><img src=$

Si (fonctions continues sur ), alors dans , c'est-à-dire uniformément, lorsque . Dans le cas du noyau de Fejér, ceci est connu sous le nom de théorème de Fejér . ${\displaystyle (k_{n}),f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} ) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>f</mi><mo>∈</mo><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (k_{n}),f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {T} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>T</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {T} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k_{n}*f o f <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>∗</mo><mi>f</mi><mo>→</mo><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k_{n}*f o f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {T} ) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n o \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n o \infty }</annotation></semantics></math><img src=$
Si , alors dans , comme . ${\displaystyle (k_{n}),f\in L^{1}(\mathbb {T} ) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>f</mi><mo>∈</mo><msup><mi>L</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (k_{n}),f\in L^{1}(\mathbb {T} )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k_{n}*f o f <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>∗</mo><mi>f</mi><mo>→</mo><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k_{n}*f o f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} ) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>L</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n o \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n o \infty }</annotation></semantics></math><img src=$
Si est à symétrie radiale décroissante et , alors la convergence ponctuelle de , lorsque . Ceci utilise la fonction maximale de Hardy-Littlewood . Si n'est pas à symétrie radiale décroissante, mais que la symétrisation décroissante satisfait , alors la convergence de reste valable, en utilisant un argument similaire. ${\displaystyle (k_{n}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (k_{n})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} ) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>∈</mo><msup><mi>L</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k_{n}*f o f <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>∗</mo><mi>f</mi><mo>→</mo><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k_{n}*f o f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n o \infty <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n o \infty }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (k_{n}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (k_{n})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y) <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>:=</mo><munder><mo>souper</mo><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>y</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≥</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>x</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></munder><msub><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}<\infty <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>souper</mo><mrow><mi>n</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>N</mi></mrow></mrow></munder><mo>‖</mo><msub><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mo>‖</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo><</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}<\infty }</annotation></semantics></math><img src=$

Katznelson, Yitzhak (2004), Introduction à l'analyse harmonique , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54359-2