Partition de l'unité

En mathématiques , une partition de l'unité sur un espace topologique ensemble de fonctions vers unité

il existe un voisinage de où toutes les fonctions de sauf un nombre fini , sont nulles, et
la somme de toutes les valeurs de la fonction en est 1, c'est-à-dire,

Les partitions de l'unité sont utiles car elles permettent souvent d'étendre des constructions locales à l'espace entier. Elles sont également importantes en interpolation de données, en traitement du signal et dans la théorie des fonctions splines .

Étant donné un recouvrement ouvert quelconque d'un espace, il existe une partition indexée sur le même ensemble supp

Si l'espace est localement compact, étant donné n'importe quel recouvrement ouvert d'un espace, il existe une partition indexée sur un ensemble d'index éventuellement distinct compact et pour chaque On peut donc choisir entre des supports indexés par le couvercle ouvert ou des supports compacts. Si l'espace est compact, il existe des cloisons qui satisfont aux deux exigences. Un recouvrement ouvert fini admet toujours une partition continue de l'unité qui lui est subordonnée, pourvu que l'espace soit localement compact et séparé. La paracompacité de l'espace est une condition nécessaire pour garantir l'existence d'une partition de l'unité subordonnée à tout recouvrement ouvert . Selon la catégorie à laquelle appartient l'espace, il peut également s'agir d'une condition suffisante. En particulier, un ensemble compact dans l' espace euclidien admet une partition lisse de l'unité subordonnée à tout recouvrement ouvert fini. La construction utilise des fonctions de régularisation (ou fonctions de bosse), qui existent dans les variétés continues et lisses, mais pas nécessairement dans les variétés analytiques . Ainsi, pour un recouvrement ouvert d'une variété analytique, il n'existe généralement pas de partition analytique de l'unité subordonnée à ce recouvrement ouvert. Voir le prolongement analytique . Si et sont des partitions de l'unité pour les espaces et respectivement, alors l'ensemble de toutes les paires est une partition de l'unité pour l' espace produit cartésien

Exemple

Soient et deux points antipodaux du cercle . On peut construire une partition de l'unité sur en considérant une carte sur le complémentaire du point qui envoie sur de centre . Soit maintenant une fonction de bosse sur définie par . Alors, cette fonction et peuvent être prolongées de manière unique sur en posant . Alors, la paire de fonctions forme une partition de l'unité sur .

Définitions des variantes

Parfois, une définition moins restrictive est utilisée : la somme des valeurs de la fonction en un point donné doit seulement être positive, et non égale à 1, pour chaque point de l’espace. Cependant, étant donné un tel ensemble de fonctions, on peut obtenir une partition de l’unité au sens strict en divisant par la somme ; la partition devient où , ce qui est bien défini puisque, en chaque point, seul un nombre fini de termes sont non nuls. De plus, certains auteurs abandonnent la condition que les supports soient localement finis, exigeant seulement que pour tout .

Dans le domaine des algèbres d'opérateurs , une partition de l'unité est composée de projections . Dans le cas des *-algèbres , on peut montrer que les coefficients sont deux à deux orthogonaux : Notons que, dans une *-algèbre générale , les coefficients d'une partition de l'unité ne sont pas deux à deux orthogonaux.

Si est un élément normal d'une -algèbre unitaire , et a un spectre fini , alors les projections dans la décomposition spectrale : forment une partition de l'unité.

Dans le domaine des groupes quantiques compacts , les lignes et les colonnes de la représentation fondamentale d'un groupe de permutation quantique forment des partitions de l'unité.

Applications

On peut utiliser une partition de l'unité pour définir l'intégrale (par rapport à une forme volume ) d'une fonction définie sur une variété : on définit d'abord l'intégrale d'une fonction dont le support est contenu dans une seule zone de coordonnées de la variété ; puis on utilise une partition de l'unité pour définir l'intégrale d'une fonction arbitraire ; enfin on montre que la définition est indépendante de la partition de l'unité choisie.

On peut utiliser une partition de l'unité pour démontrer l'existence d'une métrique riemannienne sur une variété arbitraire.

La méthode de la plus forte pente utilise une partition de l'unité pour construire les asymptotiques des intégrales.

Le filtre Linkwitz-Riley est un exemple d'implémentation pratique de la partition de l'unité pour séparer un signal d'entrée en deux signaux de sortie ne contenant que des composantes de haute ou de basse fréquence.

Les polynômes de Bernstein d'un degré fixe m sont une famille de m + 1 polynômes à une seule variable linéairement indépendants qui constituent une partition de l'unité pour l'intervalle unité .

Le théorème des zéros de Hilbert faible affirme que si des polynômes n'ont pas de point d'annulation commun dans , alors il existe des polynômes tels que . Autrement dit, forment une partition polynomiale de l'unité subordonnée au revêtement ouvert de Zariski .

Les partitions de l'unité sont utilisées pour établir des approximations lisses globales pour les fonctions de Sobolev dans des domaines bornés.