Fonction d'appartenance (mathématiques)

En mathématiques , la fonction d'appartenance d'un ensemble flou est une généralisation de la fonction indicatrice des ensembles classiques . En logique floue , elle représente le degré de vérité comme une extension de la valuation . Les degrés de vérité sont souvent confondus avec les probabilités , bien qu'ils soient conceptuellement distincts, car la vérité floue représente l'appartenance à des ensembles définis de manière imprécise, et non la vraisemblance d'un événement ou d'une condition. Les fonctions d'appartenance ont été introduites par Aliasker Zadeh dans le premier article sur les ensembles flous (1965). Dans sa théorie des ensembles flous, Aliasker Zadeh a proposé d'utiliser une fonction d'appartenance (dont l' image couvre l' intervalle [0,1]) opérant sur le domaine de toutes les valeurs possibles.

Définition

Pour tout ensemble ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle [0,1] <semantics><mrow><mstyle><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle [0,1]}</annotation></semantics></math><img src=$

Les fonctions d'appartenance représentent des sous-ensembles flous de ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ilde {A <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>UN</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ilde {A}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu _{A}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu _{A}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu _{A}(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu _{A}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ degré d'appartenance de ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ilde {A}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>UN</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ilde {A}}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu _{A}(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu _{A}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ilde {A}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>UN</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ilde {A}}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$

Parfois, une définition plus générale est utilisée, où les fonctions d'appartenance prennent des valeurs dans une algèbre ou une structure fixe arbitraire

{\displaystyle L <semantics><mrow><mstyle><mi>L</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L}</annotation></semantics></math></span><img src=

Capacité

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de S , l'ensemble des sous-ensembles d'un certain ensemble, dans

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{\displaystyle u (\emptyset )=0, u (\Omega )=1). <semantics><mrow><mstyle><mi>ν</mi><mo>(</mo><mi>∅</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>ν</mi><mo>(</mo><mi>Ω</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle u (\emptyset )=0, u (\Omega )=1).}</annotation></semantics></math></span><img src=