Fonction L

L'objet se voit attribuer un facteur gamma :

où désigne la fonction gamma , désigne le nombre automorphe et désigne le degré de la fonction L mentionnée précédemment. Les paramètres sont des nombres complexes. Ils sont appelés les paramètres locaux de à l'infini , ou au point premier infini .

Un nombre naturel est également attribué à l'objet.

,

Il s'agit du « chef » ou du « conducteur » de la fonction L. Les nombres premiers qui ne divisent pas sont dits non ramifiés par rapport à la fonction L.

En utilisant la série de Dirichlet, le facteur gamma et le coefficient dominant associé à , nous pouvons maintenant définir la fonction L complète de :

De plus, l'objet est associé à un nombre complexe

Ce nombre complexe est appelé la racine de la fonction L.

L'objet arithmétique est maintenant associé à un autre objet arithmétique (non spécifié en détail dans le cadre de cette définition abstraite). Il est appelé le dual de et est noté . Comme dans le cas de , est également une série de Dirichlet

,

un produit d'Euler

avec , un facteur gamma , un terme dominant , et une fonction L complète .

Si , alors est dit auto-dual , ce qui ne signifie rien d'autre que pour tout .

Les objets mentionnés ci-dessus, associés à l'objet arithmétique , doivent maintenant satisfaire les conditions suivantes pour que satisfasse à la définition d'une fonction L selon Iwaniec et Kowalski :

Conditions à satisfaire pour l'objet arithmétique

Indice	Condition	Description
1	Valeur absolue des paramètres locaux pour	Pour tout nombre premier et tout , nous avons .
2	Valeurs des paramètres locaux pour les branches non ramifiées	Pour tous les nombres premiers non ramifiés par rapport à , et pour tout , nous avons .
3	Exigences relatives aux paramètres locaux à l'infini	Les paramètres sont soit réels , soit présents sous forme de paires complexes conjuguées dans le facteur gamma . De plus, pour tout , cette dernière condition garantit que n'a pas de zéros dans et pas de pôles avec . désigne la partie réelle d'un nombre complexe.-1" $-1\Re \left({\kappa }_j\right)>-1$ -1
4	Convergence absolue de la série de Dirichlet et du produit d'Euler	La série de Dirichlet et le produit d'Euler associés doivent converger absolument pour .1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1
5	Concordance entre la fonction L, la série de Dirichlet et le produit d'Euler dans un demi-plan complexe	La fonction L, la série de Dirichlet et le produit d'Euler associés doivent coïncider dans le demi-plan complexe : 1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1
6	Continuité analytique et points polaires	Il découle des conditions que la série de Dirichlet doit être holomorphe dans le demi-plan . Cependant, cette série doit également être analytiquement prolongeable en une fonction méromorphe d' ordre 1 sur tout le plan , possédant des pôles au plus en et .1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1
7	Valeur absolue du nombre racine	La racine carrée a pour valeur absolue 1. Par conséquent, elle doit être égale à 1.
8	Exigences relatives aux objets associés au dual de	Concernant le dual de , les propriétés suivantes doivent être vérifiées : pour tous : , ainsi que et . Cela implique que, dans la série de Dirichlet associée à , les coefficients sont précisément les conjugués complexes des coefficients de la série de Dirichlet associée à . Les facteurs gamma et les leaders associés respectivement à et doivent coïncider.
9	Équation fonctionnelle	Les deux fonctions L complètes associées respectivement à et satisfont l'équation fonctionnelle pour tous .

La définition d'Iwaniec et Kowalski tient compte du fait qu'une fonction considérée comme une fonction L apparaît généralement comme une application de la fonction L vers un objet mathématique (par exemple, un caractère de Dirichlet ou un corps de nombres algébriques). Leur définition est abstraite et incomplète, car elle ne précise pas la nature exacte de ces objets mathématiques ni la manière dont cette application est réalisée.

La définition proposée par le mathématicien norvégo-américain Atle Selberg en 1989 est indépendante de tout autre objet mathématique. Dans une définition non abstraite et non ambiguë, il spécifie un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les séries de Dirichlet dont les éléments doivent satisfaire certaines propriétés : convergence absolue de la série de Dirichlet, prolongement analytique, équation fonctionnelle, conjecture de Ramanujan et produit eulérien. Ce sous-ensemble est aujourd'hui appelé classe de Selberg .

L'hypothèse fondamentale et le contexte motivant la définition de la classe de Selberg sont les grandes hypothèse de Riemann , qui, à ce jour, n'a été ni démontrée ni réfutée.

C’est dans ce contexte qu’il convient d’examiner les lacunes persistantes de la définition du terme « fonction L » : on souhaiterait définir ce terme de manière à ce que les fonctions L satisfassent de façon vérifiable à la grande hypothèse de Riemann. Or, on n’a même pas réussi à démontrer le cas le plus simple (l’hypothèse de Riemann pour la fonction zêta de Riemann), ce qui pourrait révéler une compréhension insuffisante de cette fonction et, par conséquent, complique la définition claire du concept général de fonction L.

Cette section présente un aperçu des exemples de base des fonctions L.

Fonction zêta de Riemann

Leonhard Euler , est la fonction zêta de Riemann .

L'un des « objets arithmétiques » possibles, au sens de la définition d'Iwaniec et Kowalski, auquel cette fonction L peut être rattachée, est le corps des nombres rationnels . Sa série de Dirichlet

c'est

pour tout , converge absolument pour . Avec son produit d'Euler, qui est également absolument convergent, on a ce qui suit pour : 1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1 1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1

Puisque tous les sont réels, à savoir égaux à 1, est auto-dual. L'objet dual de est donc aussi , donc .

Le degré du produit eulérien de la fonction zêta de Riemann est

.

Pour ses paramètres locaux en , ce qui suit est valable :

pour tout . Habituellement, le facteur gamma suivant est utilisé pour la fonction zêta de Riemann :

Le paramètre local à l'infini est donc nul. Le conducteur de est

,

de sorte que la fonction zêta de Riemann complète prenne la forme

Cette définition n'est valable que pour , car la fonction zêta de Riemann ne peut être définie par sa série de Dirichlet ou son produit eulérien que dans ce demi-plan. Cependant, la fonction zêta de Riemann complète admet un prolongement analytique en une fonction méromorphe sur tout le plan complexe. Ce prolongement est holomorphe, à l'exception de deux pôles simples en et , de résidus respectifs de −1 et 1. Si l'on note également la fonction zêta de Riemann complète et prolongée par , alors elle satisfait la condition de nombre de racines1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1

l'équation fonctionnelle

Ainsi, la fonction zêta de Riemann, initialement définie uniquement pour via sa série de Dirichlet ou son produit eulérien, admet désormais un prolongement analytique en une fonction méromorphe sur , qui n'est indéfinie qu'en , puisqu'elle y possède un pôle simple de résidu 1. Si l'on conserve la notation pour la fonction zêta de Riemann prolongée, celle-ci satisfait l'équation fonctionnelle 1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1

La fonction zêta de Riemann (étendue analytiquement) soulève l'une des questions les plus importantes de la théorie analytique des nombres : la localisation exacte de ses zéros dits non triviaux . Ceux-ci se situent dans la « bande critique » . L' hypothèse de Riemann de 1859 — qui reste à ce jour ni prouvée ni réfutée — postule que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont une partie réelle égale à 1. Une démonstration de cette hypothèse permettrait d'obtenir des estimations particulièrement précises de la distribution des nombres premiers.

Fonctions L de Dirichlet

caractère de Dirichlet . Ils prennent donc des valeurs complexes dont la valeur absolue est 1 ou 0. Soit un entier, et soit un caractère de Dirichlet modulo :

On donne un homomorphisme de groupe du groupe des éléments inversibles anneau des classes résiduelles vers le groupe du cercle des nombres complexes de valeur absolue 1. Un tel caractère de Dirichlet est dit primitif et est le générateur de s'il n'est pas déjà donné par une composition.

découle d'un caractère de Dirichlet modulo avec un diviseur propre de . En utilisant un tel caractère de Dirichlet , on définit l'application suivante, qui est également notée et appelée caractère de Dirichlet modulo :

1. \\end{cases} " $1.\backslash end\{cases\chi :Z\to C,\chi \left(n\right)=\{\begin{array}{cc}\chi (n\mathrm{mod}m)& \text{if}\gcd (n,m)=1\\ 0& \text{if}\gcd (n,m)>1.\end{array}$:{ ext{ }}\mathbb {Z} o \mathbb {C} ,{ ext{ }}\chi (n)={\begin{cases}\chi (n\operatorname {mod} m)&{ ext{if}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)=1\\0&{ ext{if}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)>1.\end{cases}}} 1.\end{cases

Les caractères de Dirichlet triviaux modulo ε prennent la valeur 1 si ε = 0, et 0 sinon. Le caractère de Dirichlet trivial modulo 1 est appelé le caractère principal. Il satisfait ε = 0 pour tout ε ≠ 0 .

Maintenant, si est un caractère primitif de Dirichlet modulo , alors une fonction L est assignée à cet objet arithmétique comme suit :

la série de Dirichlet (également appelée série L de Dirichlet)

pour est absolu. Avec les paramètres locaux pour1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1

ceci est également valable pour le produit d'Euler correspondant, et nous avons l'identité

pour . Comme pour la fonction zêta de Riemann,1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1

est l'ordre du produit eulérien. Si l'on pose quand (dans ce cas, est dit « pair ») et si (dans ce cas, est dit « impair »), alors

le facteur gamma associé à . Il s'agit donc du paramètre local au point premier infini. Le leader du caractère primitif de Dirichlet est également le leader de la fonction L de Dirichlet :

.

La fonction L complète de Dirichlet a donc la forme

Une définition valable uniquement pour , puisque la série de Dirichlet utilisée converge uniquement en . Cependant, une telle fonction L de Dirichlet complète peut être étendue analytiquement à . On obtient alors une fonction intégrale si est un caractère de Dirichlet non trivial. Sinon, la fonction étendue possède un pôle simple en avec un résidu de 1. L'objet dual de est , c'est-à-dire le caractère de Dirichlet obtenu à partir de par conjugaison complexe des valeurs de la fonction , c'est-à-dire .1" $1\Re \left(s\right)>1$ 1

pour tout . Le nombre de racines peut être déterminé à l'aide de la somme gaussienne

où la sommation s'étend sur toutes les classes de résidus modulo le générateur et désigne le nombre circulaire , désigne l' unité imaginaire et désigne la fonction exponentielle . Avec

alors la fonction L de Dirichlet étendue et complète satisfait l'équation fonctionnelle

Comme l'exige le théorème du nombre de racines, , puisque . Les fonctions L de Dirichlet incluent la fonction zêta de Riemann, puisqu'elle provient du caractère trivial de Dirichlet modulo 1, c'est-à-dire du caractère principal.

En 1837, le mathématicien allemand Peter Gustav Dirichlet utilisa les fonctions L de Dirichlet, qui portent son nom, pour prouver le suite arithmétique (également appelée progression arithmétique )

où

À savoir, que dans chaque classe résiduelle , il existe une infinité de nombres premiers. L'argument décisif dans la preuve du théorème des nombres premiers de Dirichlet est la réalisation que cette propriété est valable pour tout caractère de Dirichlet non trivial .

Fonctions L de Dedekind

aux extensions finies de , telles que . Soit un corps algébrique et soit son degré d'extension sur . Soit son anneau intègre et son discriminant . De plus, soient le nombre de plongements réels et le nombre de paires de plongements complexes de . Ainsi, .

La fonction L de Dedekind (également connue sous le nom de fonction zêta de Dedekind ) par rapport à est définie pour par 1" $1\Re \left(s\right)>1$1

Dans la somme, parcourt tous les idéaux entiers de distincts de l' idéal nul . désigne la norme absolue de . Les coefficients de la série de Dirichlet

sont donc

Pour tout , ils spécifient le nombre d'idéaux intègres de munis d' une norme absolue . En particulier, tous les coefficients sont réels, et est donc auto-duale. Cette série de Dirichlet converge absolument pour , de même que le produit d'Euler correspondant1" $1\Re \left(s\right)>1$1

Ici, le produit s'étend sur tous les idéaux premiers de qui sont distincts de l'idéal nul. Pour , l'identité suivante est vérifiée 1" $1\Re \left(s\right)>1$1

Cette forme du produit eulérien ne fait pas encore apparaître les facteurs eulériens individuels . Dans tous les cas, le degré du produit eulérien est égal au degré de l'extension du corps :

Les paramètres locaux dépendent du comportement de décomposition des idéaux.

Chaque idéal possède une « décomposition en idéal premier » unique à l'ordre des facteurs près.

Dans les idéaux premiers , où la propriété suivante est vérifiée : et seulement pour un nombre fini d'idéaux premiers . Pour au plus idéaux premiers , peut être vérifiée. De tels idéaux divisent , et nous écrivons . L'exposant dans la décomposition en idéaux premiers de est appelé l' indice de branchement de sur . Si , alors pour un certain , ce qui est appelé l' indice d'inertie de sur . Pour tout , les indices de branchement et d'inertie associés à l'idéal satisfont la relation suivante par rapport au degré de :0" $0e_p>0$0 0" $0e_p>0$0

En utilisant la connaissance des indices d'inertie pour chaque , les paramètres locaux peuvent maintenant être déterminés, notamment via les facteurs dans l'identité

en factorisant les polynômes dans l' anneau des polynômes .

Le facteur gamma par rapport à est

La valeur du discriminant de est le conducteur de :

Ainsi, la fonction L complète de pour est donnée par1" $1\Re \left(s\right)>1$1

Cette fonction admet un prolongement analytique dans le plan complexe avec des pôles simples en et , et des résidus en et , respectivement. Ici, est le nombre de chiffres infinis, est le numéro de classe , est le régulateur de , et est le nombre de

Les fonctions L de Dedekind ont toujours une racine de 1 :

Ainsi, la fonction L complète et étendue analytiquement satisfait l'équation fonctionnelle

La fonction étendue analytiquement permet désormais également l'extension analytique de , à savoir via la définition

Cela donne une fonction méromorphe sur avec un pôle simple en . L'une de ses propriétés fascinantes est la formule dite du nombre de classes analytiques , selon laquelle le résidu de en prend la forme suivante :

On peut énumérer les caractéristiques d'exemples connus de fonctions L que l'on souhaiterait voir généralisées :

• emplacement des zéros et des pôles ;
• équation fonctionnelle , par rapport à une certaine ligne verticale Re( s ) = constante ;
• valeurs intéressantes à des entiers liés à des quantités de la K -théorie algébrique .

Des travaux approfondis ont permis de formuler de nombreuses conjectures plausibles, notamment concernant le type exact d'équation fonctionnelle applicable. La fonction zêta de Riemann étant liée, par ses valeurs aux entiers pairs positifs (et aux entiers impairs négatifs), aux nombres de Bernoulli , on recherche une généralisation appropriée de ce phénomène. Dans ce cas, des résultats ont été obtenus pour les fonctions L p -adiques , qui décrivent certains modules de Galois .

Les statistiques des distributions de zéros présentent un intérêt particulier en raison de leur lien avec des problèmes tels que l'hypothèse de Riemann généralisée, la distribution des nombres premiers, etc. Leurs liens avec la théorie des matrices aléatoires et le chaos quantique sont également significatifs. La structure fractale de ces distributions a été étudiée par l'analyse de l'étendue renormalisée . L' autosimilarité de la distribution de zéros est remarquable et se caractérise par une dimension fractale élevée de 1,9. Cette dimension fractale relativement importante est observée pour les zéros couvrant au moins quinze ordres de grandeur pour la fonction zêta de Riemann , ainsi que pour les zéros d'autres fonctions L d'ordres et de conducteurs différents.

Ce développement a précédé de quelques années le programme de Langlands et peut être considéré comme complémentaire à celui-ci : les travaux de Langlands concernent en grande partie les fonctions L d'Artin , qui, comme les fonctions L de Hecke , ont été définies plusieurs décennies plus tôt, et les fonctions L attachées à des représentations automorphes générales .

On a progressivement compris comment la construction des fonctions zêta de Hasse-Weil pouvait permettre d'obtenir des fonctions L valides , au sens analytique : il fallait un apport de l'analyse, c'est-à-dire de l'analyse automorphe . Ce cas général unifie désormais, sur le plan conceptuel, plusieurs programmes de recherche différents.