Transformation intégrale

En mathématiques , une transformation intégrale est une transformation qui, par intégration , applique une fonction de son espace fonctionnel d'origine à un autre espace fonctionnel. Dans ce nouvel espace, certaines propriétés de la fonction originale sont plus facilement caractérisables et manipulables. La fonction transformée peut généralement être ramenée à son espace fonctionnel d'origine grâce à la transformation inverse .

Une transformation intégrale est une transformation de la forme suivante :

L'entrée de cette transformation est une fonction , et la sortie est une autre fonction . Une transformation intégrale est un type particulier d' opérateur mathématique .

Il existe de nombreuses transformations intégrales utiles. Chacune est définie par le choix d'une fonction de deux variables , appelée noyau ou cœur de la transformation.

Certains noyaux possèdent un noyau inverse associé qui (en gros) donne une transformation inverse :

Un noyau symétrique est un noyau qui reste inchangé lorsque les deux variables sont permutées ; c'est une fonction noyau telle que . Dans la théorie des équations intégrales, les noyaux symétriques correspondent à des opérateurs auto-adjoints .

De nombreuses catégories de problèmes sont difficiles à résoudre, ou du moins leur résolution algébrique est particulièrement complexe, dans leur formulation initiale. Une transformation intégrale permet de « transformer » une équation de son « domaine » d'origine vers un autre domaine, où sa manipulation et sa résolution sont généralement beaucoup plus simples. La solution peut ensuite être ramenée au domaine d'origine grâce à la transformation intégrale inverse.

Il existe de nombreuses applications des probabilités qui reposent sur des transformations intégrales, telles que le « noyau de tarification » ou le facteur d'actualisation stochastique , ou le lissage des données récupérées à partir de statistiques robustes ; voir noyau (statistiques) .

Les séries de Fourier, utilisées pour exprimer des fonctions sur des intervalles finis, ont précédé les transformations de Fourier. Plus tard, la transformée de Fourier a été développée pour s'affranchir de cette contrainte d'intervalles finis.

Grâce aux séries de Fourier, presque toutes les fonctions temporelles pratiques ( par exemple, la tension aux bornes d'un appareil électronique ) peuvent être représentées comme une somme de sinus et de cosinus , chacun étant convenablement mis à l'échelle (multiplié par un facteur constant), décalé (avancé ou retardé dans le temps) et « comprimé » ou « étiré » (augmentation ou diminution de la fréquence). Les sinus et les cosinus des séries de Fourier constituent un exemple de base orthonormée .

Prenons comme exemple d'application des transformations intégrales la transformée de Laplace . Cette technique permet de transformer des équations différentielles ou intégro-différentielles du domaine temporel en équations polynomiales dans le domaine dit des fréquences complexes . (La fréquence complexe est similaire à la fréquence physique, mais plus générale. Plus précisément, la composante imaginaire ω de la fréquence complexe s = −σ + iω correspond à la notion usuelle de fréquence, c'est-à- dire le nombre de cycles d'une sinusoïde, tandis que la composante réelle σ correspond au degré d'amortissement, soit la décroissance exponentielle de l'amplitude.) L'équation exprimée en termes de fréquences complexes se résout aisément dans ce domaine (les racines des équations polynomiales dans le domaine des fréquences complexes correspondent aux valeurs propres dans le domaine temporel), ce qui conduit à une solution formulée dans le domaine fréquentiel. En utilisant la transformée inverse , c'est-à-dire la procédure inverse de la transformée de Laplace originale, on obtient une solution dans le domaine temporel. Dans cet exemple, les polynômes dans le domaine des fréquences complexes (apparaissant généralement au dénominateur) correspondent à des séries de puissances dans le domaine temporel, tandis que les décalages axiaux dans le domaine des fréquences complexes correspondent à un amortissement par des exponentielles décroissantes dans le domaine temporel.

La transformée de Laplace trouve de nombreuses applications en physique, et notamment en génie électrique, où les équations caractéristiques décrivant le comportement d'un circuit électrique dans le domaine fréquentiel complexe correspondent à des combinaisons linéaires de sinusoïdes amorties , multipliées par une fonction exponentielle et décalées dans le temps , dans le domaine temporel. D'autres transformées intégrales sont particulièrement utiles dans d'autres disciplines scientifiques et mathématiques.

Un autre exemple d'utilisation est le noyau dans l' intégrale de chemin :

Cela signifie que l'amplitude totale à atteindre est la somme (l'intégrale) de toutes les valeurs possibles de l'amplitude totale à atteindre au point considéré, multipliée par l'amplitude nécessaire pour aller de ce point à [ ie ] . On l'appelle souvent le propagateur d'un système donné. Ce noyau (physique) est le noyau de la transformation intégrale. Cependant, chaque système quantique possède un noyau différent.

Dans les limites d'intégration de la transformée inverse, c est une constante qui dépend de la nature de la fonction de transformation. Par exemple, pour la transformée de Laplace unilatérale et bilatérale, c doit être supérieur à la plus grande partie réelle des zéros de la fonction de transformation.

Notez qu'il existe des notations et des conventions alternatives pour la transformée de Fourier.

Ici, les transformations intégrales sont définies pour des fonctions sur les nombres réels, mais elles peuvent être définies plus généralement pour des fonctions sur un groupe.

• Si l'on utilise plutôt des fonctions sur le cercle (fonctions périodiques), les noyaux d'intégration sont alors des fonctions bipériodiques ; la convolution par des fonctions sur le cercle donne une convolution circulaire .
• Si l'on utilise des fonctions sur le groupe cyclique d'ordre n ( C _n ou Z / n Z ), on obtient des matrices n × n comme noyaux d'intégration ; la convolution correspond à des matrices circulantes .

Bien que les propriétés des transformations intégrales varient considérablement, elles présentent certaines propriétés communes. Par exemple, toute transformation intégrale est un opérateur linéaire , puisque l'intégrale est un opérateur linéaire, et en fait, si le noyau peut être une fonction généralisée, alors tous les opérateurs linéaires sont des transformations intégrales (une formulation correcte de ce résultat est le théorème du noyau de Schwartz ).

La théorie générale de telles équations intégrales est connue sous le nom de théorie de Fredholm . Dans cette théorie, le noyau est défini comme un opérateur compact agissant sur un espace de Banach de fonctions. Selon le contexte, le noyau est alors désigné sous différents noms : opérateur de Fredholm , opérateur nucléaire ou noyau de Fredholm .