Géoïde

Le géoïde ( / ˈ dʒ iː . ɔɪ d / JEE -oyd ) est la forme que prendrait la surface de l'océan sous l'influence de la gravité terrestre , y compris l'attraction gravitationnelle et la rotation de la Terre , si d'autres influences telles que les vents et les marées étaient absentes. Cette surface s'étend à travers les continents (comme on pourrait l'approcher avec des canaux hypothétiques très étroits ). Selon Gauss , qui l'a décrit le premier, c'est la « figure mathématique de la Terre », une surface lisse mais irrégulière dont la forme résulte de la distribution inégale de la masse à l'intérieur et à la surface de la Terre. Elle ne peut être connue que grâce à des mesures et des calculs gravitationnels approfondis. Bien qu'il s'agisse d'un concept important pendant près de 200 ans dans l'histoire de la géodésie et de la géophysique , il n'a été défini avec une grande précision que depuis les progrès de la géodésie par satellite à la fin du XXe siècle.

Le géoïde est souvent exprimé comme une ondulation du géoïde ou une hauteur géoïdale au-dessus d'un ellipsoïde de référence donné , qui est une sphère légèrement aplatie dont le renflement équatorial est causé par la rotation de la planète. En général, la hauteur géoïdale s'élève là où la matière terrestre est localement plus dense et exerce une force gravitationnelle plus importante que les zones environnantes. Le géoïde sert à son tour de surface de coordonnées de référence pour diverses coordonnées verticales , telles que les hauteurs orthométriques , les hauteurs géopotentielles et les hauteurs dynamiques (voir Géodésie#Hauteurs ).

Tous les points d'une surface géoïde ont le même géopotentiel (la somme de l'énergie potentielle gravitationnelle et de l'énergie potentielle centrifuge ). À cette surface, à l'exception des fluctuations temporaires des marées, la force de gravité agit partout perpendiculairement au géoïde, ce qui signifie que les lignes à plomb pointent perpendiculairement et que les niveaux à bulle sont parallèles au géoïde. Être équigéopotentiel signifie que le géoïde correspond à la surface libre de l'eau au repos (si seules la gravité et l'accélération de rotation de la Terre étaient à l'œuvre) ; c'est également une condition suffisante pour qu'une balle reste au repos au lieu de rouler sur le géoïde. L'accélération de la gravité terrestre (la dérivée verticale du géopotentiel) n'est donc pas uniforme sur le géoïde.

La surface du géoïde est irrégulière, contrairement à l'ellipsoïde de référence (qui est une représentation mathématique idéalisée de la Terre physique en tant qu'ellipsoïde ) , mais elle est considérablement plus lisse que la surface physique de la Terre. Bien que le « sol » de la Terre ait des excursions de l'ordre de +8 800 m ( mont Everest ) et −11 000 m ( fosse des Mariannes ), l'écart du géoïde par rapport à un ellipsoïde varie de +85 m (Islande) à −106 m (sud de l'Inde), soit moins de 200 m au total.

Si l'océan avait une densité constante et n'était pas perturbé par les marées, les courants ou les conditions météorologiques, sa surface ressemblerait au géoïde. L'écart permanent entre le géoïde et le niveau moyen de la mer est appelé topographie de la surface océanique . Si les masses continentales étaient traversées par une série de tunnels ou de canaux, le niveau de la mer dans ces canaux coïnciderait également très près avec le géoïde. Les géodésiens sont capables de déduire les hauteurs des points continentaux au-dessus du géoïde à l'aide d'un niveau à bulle .

En tant que surface équipotentielle , le géoïde est, par définition, une surface sur laquelle la force de gravité est perpendiculaire partout, à l'exception des fluctuations temporaires des marées. Cela signifie que lorsque l'on voyage en bateau, on ne remarque pas l'ondulation du géoïde ; en négligeant les marées, la verticale locale (fil à plomb) est toujours perpendiculaire au géoïde et l'horizon local lui est tangent . De même, les niveaux à bulle seront toujours parallèles au géoïde.

Le champ gravitationnel de la Terre n'est pas uniforme. Un sphéroïde aplati est généralement utilisé comme Terre idéalisée, mais même si la Terre était sphérique et ne tournait pas, la force de gravité ne serait pas la même partout car la densité varie sur toute la planète. Cela est dû à la distribution du magma, à la densité et au poids des différentes compositions géologiques de la croûte terrestre , aux chaînes de montagnes, aux fosses sous-marines profondes, au compactage de la croûte dû aux glaciers, etc.

Si cette sphère était ensuite recouverte d'eau, l'eau ne serait pas à la même hauteur partout. Au lieu de cela, le niveau de l'eau serait plus haut ou plus bas par rapport au centre de la Terre, en fonction de l'intégrale de la force de gravité du centre de la Terre à cet endroit. Le niveau du géoïde coïncide avec l'endroit où se trouverait l'eau. En général, le géoïde s'élève là où la matière terrestre est localement plus dense, exerce une plus grande force gravitationnelle et attire plus d'eau de la zone environnante.

L' ondulation du géoïde (également appelée hauteur du géoïde ou anomalie du géoïde ), N , est la hauteur du géoïde par rapport à un ellipsoïde de référence donné . L'ondulation n'est pas normalisée, car différents pays utilisent différents niveaux moyens de la mer comme référence, mais se réfère le plus souvent au géoïde EGM96 .

Dans les cartes et l'usage courant, la hauteur au-dessus du niveau moyen de la mer (comme la hauteur orthométrique , H ) est utilisée pour indiquer la hauteur des élévations tandis que la hauteur ellipsoïdale , h , résulte du système GPS et de GNSS similaires : (Une relation analogue existe entre les hauteurs normales et le quasigéoïde , qui ne tient pas compte des variations de densité locales.) En pratique, de nombreux récepteurs GPS portables interpolent N dans une carte du géoïde pré-calculée (une table de consultation ).

Ainsi, un récepteur GPS embarqué sur un navire peut, au cours d'un long voyage, indiquer des variations de hauteur, même si le navire sera toujours au niveau de la mer (en négligeant les effets des marées). En effet, les satellites GPS , en orbite autour du centre de gravité de la Terre, ne peuvent mesurer les hauteurs que par rapport à un ellipsoïde de référence géocentrique. Pour obtenir sa hauteur orthométrique , une lecture GPS brute doit être corrigée. Inversement, la hauteur déterminée par nivellement à partir d'un marégraphe , comme dans l'arpentage traditionnel, est plus proche de la hauteur orthométrique. Les récepteurs GPS modernes ont une grille implémentée dans leur logiciel grâce à laquelle ils obtiennent, à partir de la position actuelle, la hauteur du géoïde (par exemple, le géoïde EGM96) au-dessus de l'ellipsoïde du Système géodésique mondial (WGS). Ils sont alors capables de corriger la hauteur au-dessus de l'ellipsoïde WGS en fonction de la hauteur au-dessus du géoïde EGM96. Lorsque la hauteur d’un navire n’est pas nulle, l’écart est dû à d’autres facteurs tels que les marées océaniques, la pression atmosphérique (effets météorologiques), la topographie de la surface de la mer locale et les incertitudes de mesure.

L'ondulation du géoïde N est étroitement liée au potentiel perturbateur T selon la formule de Bruns (du nom de Heinrich Bruns ) :

où est la force de gravité normale , calculée à partir du potentiel de champ normal .

Une autre façon de déterminer N consiste à utiliser des valeurs d' anomalie de gravité , des différences entre la gravité de référence vraie et normale, selonFormule de Stokes (ouintégrale de Stokes), publiée en 1849 parGeorge Gabriel Stokes:

Le noyau intégral S , appelé fonction de Stokes , a été dérivé par Stokes sous forme analytique fermée. Notez que déterminer un endroit quelconque sur Terre par cette formule nécessite d'être connu partout sur Terre , y compris les océans, les zones polaires et les déserts. Pour les mesures gravimétriques terrestres, c'est une quasi-impossibilité, malgré une étroite coopération internationale au sein de l' Association internationale de géodésie (AIG), par exemple, par l'intermédiaire du Bureau gravimétrique international (BGI, Bureau Gravimétrique International).

Une autre approche pour la détermination du géoïde consiste à combiner plusieurs sources d'information : non seulement la gravimétrie terrestre, mais aussi les données géodésiques satellitaires sur la figure de la Terre, issues de l'analyse des perturbations orbitales des satellites, et dernièrement des missions de mesure de la gravité par satellite telles que GOCE et GRACE . Dans de telles solutions combinées, la partie basse résolution de la solution du géoïde est fournie par les données satellitaires, tandis qu'une version « ajustée » de l'équation de Stokes ci-dessus est utilisée pour calculer la partie haute résolution, à partir de données gravimétriques terrestres provenant uniquement d'un voisinage du point d'évaluation.

Le calcul de l'ondulation est un défi mathématique. La solution précise du géoïde par Petr Vaníček et ses collègues a amélioré l' approche stokesienne du calcul du géoïde. une précision millimétrique à centimétrique dans le calcul du géoïde , une amélioration d'un ordre de grandeur par rapport aux solutions classiques précédentes.

Les ondulations du géoïde présentent des incertitudes qui peuvent être estimées en utilisant plusieurs méthodes, par exemple, la collocation par les moindres carrés (LSC), la logique floue , les réseaux neuronaux artificiels , les fonctions de base radiales (RBF) et les techniques géostatistiques . L'approche géostatistique a été définie comme la technique la plus améliorée dans la prévision de l'ondulation du géoïde.

Les variations de hauteur de la surface géoïdale sont liées à des distributions de densité anormales au sein de la Terre. Les mesures du géoïde aident ainsi à comprendre la structure interne de la planète. Les calculs synthétiques montrent que la signature géoïdale d'une croûte épaissie (par exemple, dans les ceintures orogéniques produites par une collision continentale ) est positive, contrairement à ce à quoi on devrait s'attendre si l'épaississement affecte toute la lithosphère . La convection du manteau modifie également la forme du géoïde au fil du temps.

La surface du géoïde est plus haute que l' ellipsoïde de référence partout où il y a une anomalie de gravité positive ou un potentiel perturbateur négatif (excès de masse) et plus basse que l'ellipsoïde de référence partout où il y a une anomalie de gravité négative ou un potentiel perturbateur positif (déficit de masse).

Cette relation peut être comprise en rappelant que le potentiel de gravité est défini de telle sorte qu'il a des valeurs négatives et est inversement proportionnel à la distance du corps. Ainsi, alors qu'un excès de masse renforcera l'accélération de la gravité, il diminuera le potentiel de gravité. En conséquence, la surface équipotentielle définissant le géoïde se trouvera déplacée loin de l'excès de masse. De manière analogue, un déficit de masse affaiblira l'attraction gravitationnelle mais augmentera le géopotentiel à une distance donnée, ce qui entraînera le déplacement du géoïde vers le déficit de masse.

La présence d'une inclusion localisée dans le milieu de fond fera légèrement tourner les vecteurs d'accélération de la gravité vers ou loin d'un corps plus dense ou plus léger, respectivement, provoquant une bosse ou une fossette dans la surface équipotentielle.

L'écart absolu le plus important se situe dans la dépression du géoïde de l'océan Indien , à 106 mètres au-dessous du niveau moyen de la mer. Une autre caractéristique importante est la haute dépression du géoïde de l'Atlantique Nord (ou houle du géoïde de l'Atlantique Nord), causée en partie par le poids de la couverture de glace sur l'Amérique du Nord et l'Europe du Nord pendant la période glaciaire du Cénozoïque tardif .

Les missions satellites récentes, telles que Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer (GOCE) et GRACE , ont permis l'étude des signaux du géoïde variables dans le temps. Les premiers produits basés sur les données du satellite GOCE sont devenus disponibles en ligne en juin 2010, par l'intermédiaire de l'Agence spatiale européenne. L'ESA a lancé le satellite en mars 2009 dans le cadre d'une mission visant à cartographier la gravité terrestre avec une précision et une résolution spatiale sans précédent. Le 31 mars 2011, un nouveau modèle de géoïde a été dévoilé lors du quatrième atelier international des utilisateurs de GOCE organisé à l' Université technique de Munich , en Allemagne. Les études utilisant le géoïde variable dans le temps calculé à partir des données GRACE ont fourni des informations sur les cycles hydrologiques mondiaux, les bilans de masse des calottes glaciaires , et le rebond postglaciaire . À partir des mesures du rebond postglaciaire, les données GRACE variables dans le temps peuvent être utilisées pour déduire la viscosité du manteau terrestre .

Les harmoniques sphériques sont souvent utilisées pour approximer la forme du géoïde. Le meilleur ensemble actuel de coefficients harmoniques sphériques est EGM2020 (Earth Gravitational Model 2020), déterminé dans le cadre d'un projet collaboratif international dirigé par la National Imagery and Mapping Agency (aujourd'hui la National Geospatial-Intelligence Agency , ou NGA). La description mathématique de la partie non rotative de la fonction potentielle dans ce modèle est la suivante :

où et sont respectivement la latitude et la longitude géocentriques (sphériques), sont les polynômes de Legendre associés entièrement normalisés de degré et d'ordre , et et sont les coefficients numériques du modèle basés sur des données mesurées. L'équation ci-dessus décrit le potentiel gravitationnel de la Terre , pas le géoïde lui-même, à l'emplacement où la coordonnée est le rayon géocentrique , c'est-à-dire la distance par rapport au centre de la Terre. Le géoïde est une surface équipotentielle particulière, et est quelque peu compliqué à calculer. Le gradient de ce potentiel fournit également un modèle de l'accélération gravitationnelle. L'EGM96 le plus couramment utilisé contient un ensemble complet de coefficients de degré et d'ordre 360 ​​(c'est-à-dire ), décrivant des détails dans le géoïde global aussi petits que 55 km (ou 110 km, selon la définition de la résolution). Le nombre de coefficients, et , peut être déterminé en observant d'abord dans l'équation de que pour une valeur spécifique de il y a deux coefficients pour chaque valeur de sauf pour . Il n'y a qu'un seul coefficient lorsque puisque . Il existe donc des coefficients pour chaque valeur de . En utilisant ces faits et la formule, , il s'ensuit que le nombre total de coefficients est donné par

Pour de nombreuses applications, la série complète est inutilement complexe et est tronquée après quelques termes (peut-être plusieurs dizaines).

Cependant, des modèles à résolution encore plus élevée ont été développés. De nombreux auteurs de l'EGM96 ont publié l'EGM2008. Il intègre une grande partie des nouvelles données de gravité par satellite (par exemple, l'expérience Gravity Recovery and Climate Experiment ) et prend en charge jusqu'au degré et à l'ordre 2160 (1/6 de degré, nécessitant plus de 4 millions de coefficients), avec des coefficients supplémentaires s'étendant jusqu'au degré 2190 et à l'ordre 2159. L'EGM2020 est le suivi international qui était initialement prévu pour 2020 (toujours non publié en 2024), contenant le même nombre d'harmoniques générées avec de meilleures données.