Interpolation multivariée

En analyse numérique , l'interpolation multivariée est une interpolation sur des fonctions de plus d'une variable ( fonctions multivariées ) ; lorsque les variables sont des coordonnées spatiales , on parle également d' interpolation spatiale .

La fonction à interpoler est connue en des points donnés et le problème d'interpolation consiste à donner des valeurs en des points arbitraires . ${\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i},\dots ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>et</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i},\points )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (x,y,z,\dots ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle (x, y, z, dots)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'interpolation multivariée est particulièrement importante en géostatistique , où elle est utilisée pour créer un modèle numérique d'élévation à partir d'un ensemble de points sur la surface de la Terre (par exemple, des hauteurs ponctuelles dans un levé topographique ou des profondeurs dans un levé hydrographique ).

Grille régulière

Pour les valeurs de fonction connues sur une grille régulière (ayant un espacement prédéterminé, pas nécessairement uniforme), les méthodes suivantes sont disponibles.

Toute dimension

Interpolation par le plus proche voisin
interpolation n-linéaire (voir interpolation bi- et trilinéaire et polynôme multilinéaire )
interpolation n-cubique (voir interpolation bi- et tricubique )
Krigeage
Pondération inverse de la distance
Interpolation de voisins naturels
Interpolation spline
Interpolation de fonction de base radiale

2 dimensions

Le rééchantillonnage bitmap est l'application de l'interpolation multivariée 2D dans le traitement d'images .

Trois des méthodes appliquées sur le même jeu de données, à partir de 25 valeurs situées sur les points noirs. Les couleurs représentent les valeurs interpolées.

Le voisin le plus proche
Bilinéaire
Bicubique

Voir aussi les points de Padoue , pour l'interpolation polynomiale à deux variables.

3 dimensions

Voir également rééchantillonnage bitmap .

Produit tensoriel splines pourNdimensions

Les splines de Catmull-Rom peuvent être facilement généralisées à n'importe quel nombre de dimensions. L' article sur les splines cubiques d'Hermite vous rappellera que pour un 4-vecteur qui est une fonction de x seul, où est la valeur at de la fonction à interpoler. Réécrivez cette approximation comme ${\displaystyle \mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \left(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>C</mi> <mi>je</mi> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \gauche(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2}\droite)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {b} (x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {b} (x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f_{j <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{j}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle j <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle j}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \mathrm {CR} (x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>C</mi> <mi>R</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {CR} (x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cette formule peut être directement généralisée à N dimensions :

{\displaystyle \mathrm {CR} (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\dots i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>C</mi> <mi>R</mi> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {CR} (x_{1},\points ,x_{N})=\sum _{i_{1},\points ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\points i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Notez que des généralisations similaires peuvent être faites pour d'autres types d'interpolations de splines, y compris les splines Hermite. En ce qui concerne l'efficacité, la formule générale peut en fait être calculée comme une composition d' opérations de type successif pour tout type de splines de produits tensoriels, comme expliqué dans l' article sur l'interpolation tricubique . Cependant, le fait demeure que s'il y a des termes dans la sommation de type unidimensionnel , alors il y aura des termes dans la sommation bidimensionnelle. ${\displaystyle \mathrm {CINT} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>C</mi> <mi>je</mi> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {CINT} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathrm {CR} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>C</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathrm {CR} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n^{N <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n^{N}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Grille irrégulière (données dispersées)

Les schémas définis pour des données dispersées sur une grille irrégulière sont plus généraux. Ils devraient tous fonctionner sur une grille régulière, en se réduisant généralement à une autre méthode connue.

Interpolation par le plus proche voisin
Voisin naturel basé sur un réseau irrégulier triangulé
Interpolation linéaire basée sur un réseau irrégulier triangulé (un type de fonction linéaire par morceaux )
- interpolation n- simplex (par exemple tétraèdre) (voir système de coordonnées barycentriques )
Pondération inverse de la distance
ABOS - approximation basée sur le lissage
Krigeage
Krigeage amélioré par gradient (GEK)
Cannelure en plaque mince
Spline polyharmonique (la spline à plaque mince est un cas particulier de spline polyharmonique)
Fonction de base radiale ( les splines polyharmoniques sont un cas particulier de fonctions de base radiale avec des termes polynomiaux de faible degré)
Spline des moindres carrés
Interpolation naturelle des voisins

Le quadrillage est le processus de conversion de données irrégulièrement espacées en une grille régulière ( données quadrillées ).