rayon de la Terre

Le rayon terrestre (noté R _🜨 ou R _E ) est la distance entre le centre de la Terre et un point situé sur ou près de sa surface. En approximant la forme de la Terre par un sphéroïde terrestre (un ellipsoïde aplati ), le rayon varie d'un maximum ( rayon équatorial , noté a ) d'environ 6 378 km (3 963 mi) à un minimum ( rayon polaire , noté b ) de près de 6 357 km (3 950 mi).

On considère généralement qu'une valeur moyenne mondiale est de 6 371 kilomètres (3 959 mi) avec une variabilité de 0,3 % (±10 km) pour les raisons suivantes. L' Union internationale de géodésie et de géophysique (UIGG) fournit trois valeurs de référence : le rayon moyen ( R₁ ) de trois rayons mesurés à deux points _de l'équateur et à un pôle ; le rayon authalique , qui est le rayon d'une sphère de même surface ( R₂ ₎ ; et le rayon volumique , qui est le rayon d'une sphère de même volume que l'ellipsoïde ( R₃ ). ₂ valeurs sont d'environ 6 371 kilomètres (3 959 mi).

D'autres méthodes pour définir et mesurer le rayon de la Terre font intervenir soit le rayon de courbure du sphéroïde, soit la topographie . Certaines définitions donnent des valeurs en dehors de l'intervalle entre le rayon polaire et le rayon équatorial , car elles tiennent compte d'effets locaux.

Le rayon terrestre nominal (noté ) est parfois utilisé comme unité de mesure en astronomie et en géophysique , un facteur de conversion utilisé lors de l'expression des propriétés planétaires en multiples ou en fractions d'un rayon terrestre constant ; si le choix entre les rayons équatorial et polaire n'est pas explicite, le rayon équatorial doit être supposé, comme le recommande l' Union astronomique internationale (UAI). ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {E} }^{\mathrm {N} <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>E</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle { mathcal {R}} _ { mathrm {E} } ^ { mathrm {N} }}</annotation></semantics></math><img src=$

Introduction

La rotation de la Terre , les variations de densité interne et les forces de marée externes font que sa forme s'écarte systématiquement de celle d'une sphère parfaite. La topographie locale accentue cette variabilité, engendrant une surface d'une grande complexité. Nos descriptions de la surface terrestre doivent être simplifiées par rapport à la réalité pour être exploitables. C'est pourquoi nous créons des modèles pour approximer les caractéristiques de la surface terrestre, en nous appuyant généralement sur le modèle le plus simple adapté au besoin.

Chacun des modèles couramment utilisés fait intervenir une notion de rayon géométrique . À proprement parler, seules les sphères possèdent un rayon, mais l'emploi du terme « rayon » est fréquent dans de nombreux domaines, y compris ceux qui traitent de la modélisation de la Terre. Voici une liste partielle de modèles de la surface terrestre, classés du plus précis au plus approximatif :

La surface réelle de la Terre
Le géoïde , défini par le niveau moyen de la mer en chaque point de la surface réelle
Un sphéroïde , également appelé ellipsoïde de révolution, géocentrique pour modéliser la Terre entière, ou encore géodésique pour les travaux régionaux
Une sphère

Dans le cas du géoïde et des ellipsoïdes, la distance fixe entre un point quelconque du modèle et le centre spécifié est appelée « rayon de la Terre » ou « rayon de la Terre en ce point » . Il est également courant de désigner tout rayon moyen d'un modèle sphérique par l'expression « rayon de la Terre » . En revanche, lorsqu'on considère la surface réelle de la Terre, il est rare de parler de « rayon », car cela ne présente généralement aucun besoin pratique. On utilise plutôt l'altitude par rapport au niveau de la mer.

Quel que soit le modèle, chacun de ces rayons géocentriques se situe entre le minimum polaire d'environ 6 357 km et le maximum équatorial d'environ 6 378 km (3 950 à 3 963 mi). Ainsi, la Terre ne s'écarte de la sphère parfaite que d'un tiers de pour cent, ce qui confirme le modèle sphérique dans la plupart des contextes et justifie le terme « rayon de la Terre ». Bien que les valeurs précises varient, les concepts présentés dans cet article s'appliquent à toutes les planètes majeures .

Physique de la déformation de la Terre

La rotation d'une planète lui confère une forme proche d'un ellipsoïde aplati (ou sphéroïde) présentant un renflement à l' équateur et un aplatissement aux pôles Nord et Sud , de sorte que le rayon équatorial a est supérieur au rayon polaire b d'environ aq . La constante d'aplatissement q est donnée par :

{\displaystyle q={\frac {a^{3}\omega ^{2}}{GM}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>q</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>ω</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>G</mi><mi>M</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle q={\frac {a^{3}\omega ^{2}}{GM}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ω est la fréquence angulaire , G est la constante gravitationnelle et M est la masse de la planète. Pour la Terre1/q⁠ ≈ 289 , ce qui est proche de l' aplatissement inverse mesuré ⁠1/f≈ 298,257 . De plus, le renflement équatorial présente de lentes variations. Ce renflement avait diminué, mais depuis 1998, il a augmenté, probablement en raison d'une redistribution de la masse océanique par les courants.

La variation de densité et d'épaisseur de la croûte terrestre entraîne une variation de la gravité à la surface et au fil du temps, de sorte que le niveau moyen de la mer diffère de l'ellipsoïde. Cette différence correspond à la hauteur du géoïde : positive au-dessus ou à l'extérieur de l'ellipsoïde, négative en dessous ou à l'intérieur. Sur Terre, la variation de la hauteur du géoïde est inférieure à 110 m (360 pi). La hauteur du géoïde peut changer brutalement en raison de séismes (comme celui de Sumatra-Andaman ) ou d'une réduction de la masse glaciaire (comme au Groenland ).

Toutes les déformations ne sont pas d'origine interne à la Terre. L'attraction gravitationnelle de la Lune ou du Soleil peut entraîner une variation de la surface terrestre en un point donné de quelques dixièmes de mètre sur une période d'environ 12 heures (voir marée terrestre ).

Rayon et conditions locales

Compte tenu des influences locales et transitoires sur la hauteur de la surface, les valeurs définies ci-dessous sont basées sur un modèle « à usage général », affiné aussi précisément que possible à l'échelle mondiale à moins de 5 m (16 pieds) de la hauteur de l'ellipsoïde de référence, et à moins de 100 m (330 pieds) du niveau moyen de la mer (en négligeant la hauteur du géoïde).

De plus, le rayon peut être estimé à partir de la courbure de la Terre en un point donné. À l'instar d'un tore , la courbure en un point est maximale (la plus prononcée) dans une direction (nord-sud sur Terre) et minimale (la plus faible) perpendiculairement (est-ouest). Le rayon de courbure correspondant dépend de la position et de la direction de la mesure à partir de ce point. Il en résulte que la distance à l' horizontale à l'équateur est légèrement plus courte dans la direction nord-sud que dans la direction est-ouest.

En résumé, les variations locales du terrain empêchent de définir un rayon « précis » unique. On ne peut qu'adopter un modèle idéalisé. Depuis l'estimation d' Ératosthène , de nombreux modèles ont été élaborés. Historiquement, ces modèles étaient basés sur la topographie régionale, fournissant ainsi l' ellipsoïde de référence le plus adapté à la zone étudiée. Avec l'essor de la télédétection satellitaire , et notamment du système de positionnement global ( GPS ), de véritables modèles globaux ont été développés. Bien que moins précis pour les études régionales, ils constituent la meilleure approximation de la Terre dans son ensemble.

Extrema : rayons équatoriaux et polaires

Les rayons suivants sont dérivés de l' ellipsoïde de référence du Système géodésique mondial 1984 ( WGS-84 ) . Il s'agit d'une surface idéalisée, et les mesures terrestres utilisées pour son calcul présentent une incertitude de ±2 m dans les dimensions équatoriale et polaire . Des écarts supplémentaires dus aux variations topographiques locales peuvent être significatifs. Lors de la localisation d'un point observable, l'utilisation de valeurs plus précises pour les rayons WGS-84 n'entraîne pas nécessairement une amélioration de la précision .

La valeur du rayon équatorial est définie au 0,1 m près en WGS-84. La valeur du rayon polaire dans cette section a été arrondie au 0,1 m près, ce qui est généralement suffisant. Se référer à l'ellipsoïde WGS-84 si une valeur plus précise du rayon polaire est nécessaire.

Le rayon équatorial de la Terre , a , ou demi-grand axe , est la distance entre son centre et l' équateur et vaut 6 378,1370 km (3 963,1906 mi). Le rayon équatorial est souvent utilisé pour comparer la Terre à d'autres planètes .
Le rayon polaire de la Terre b , ou demi-petit axe est la distance de son centre aux pôles Nord et Sud, et est égal à 6 356,7523 km (3 949,9028 mi).

Rayons dépendant de l'emplacement

Rayon géocentrique

Le rayon géocentrique est la distance entre le centre de la Terre et un point sur la surface du sphéroïde à la latitude géodésique φ , donnée par la formule

{\displaystyle R(\varphi )={\sqrt {\frac {(a^{2}\cos \varphi )^{2}+(b^{2}\sin \varphi )^{2}}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><mo>(</mo><msup><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>un</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></msqrt></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R(\varphi )={\sqrt {\frac {(a^{2}\cos \varphi )^{2}+(b^{2}\sin \varphi )^{2}}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où a et b sont respectivement le rayon équatorial et le rayon polaire.

Les rayons géocentriques maximum et minimum de l'ellipsoïde coïncident respectivement avec les rayons équatorial et polaire aux sommets de l'ellipse. Cependant, les rayons de courbure maximum et minimum coïncident avec les pôles et l'équateur, dans des régions opposées à celles où correspondent les rayons géocentriques, en raison de l'aplatissement de la Terre.

Rayons de courbure

Rayons de courbure principaux

Il existe deux rayons de courbure principaux : le long des sections normales méridienne et verticale principale .

Les courbures principales sont les racines de l'équation (125) dans :

{\displaystyle (EG-F^{2})\kappa ^{2}-(eG+gE-2fF)\kappa +(eg-f^{2})=0=\det(A-\kappa B), <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>E</mi><mi>G</mi><mo>−</mo><msup><mi>F</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><msup><mi>κ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mo>(</mo><mi>e</mi><mi>G</mi><mo>+</mo><mi>g</mi><mi>E</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>f</mi><mi>F</mi><mo>)</mo><mi>κ</mi><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>e</mi><mi>g</mi><mo>−</mo><msup><mi>f</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mo>det</mo><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>−</mo><mi>κ</mi><mi>B</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (EG-F^{2})\kappa ^{2}-(eG+gE-2fF)\kappa +(eg-f^{2})=0=\det(A-\kappa B),}</annotation></semantics></math></span><img src=

où dans la première forme fondamentale pour une surface (équation (112) dans ) :

{\displaystyle ds^{2}=\sum _{ij}a_{ij}dw^{i}dw^{j}=E\,d\varphi ^{2}+2F\,d\varphi \,d\lambda +G\,d\lambda ^{2}, <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></munder><msub><mi>un</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mi>d</mi><msup><mi>w</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mi>d</mi><msup><mi>w</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>E</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><msup><mi>φ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>F</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>φ</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>λ</mi><mo>+</mo><mi>G</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><msup><mi>λ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ds^{2}=\sum _{ij}a_{ij}dw^{i}dw^{j}=E\,d\varphi ^{2}+2F\,d\varphi \,d\lambda +G\,d\lambda ^{2},}</annotation></semantics></math></span><img src=

E , F et G sont des éléments du tenseur métrique :

{\displaystyle A=a_{ij}=\sum _{ u }{\frac {\partial r^{ u }}{\partial w^{i}}}{\frac {\partial r^{ u }}{\partial w^{j}}}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>r</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>w</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>r</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>w</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>[</mo><mtable><mtr><mtd><mi>E</mi></mtd><mtd><mi>F</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>F</mi></mtd><mtd><mi>G</mi></mtd></mtr></mtable><mo>]</mo></mrow></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A=a_{ij}=\sum _{ u }{\frac {\partial r^{ u }}{\partial w^{i}}}{\frac {\partial r^{ u }}{\partial w^{j}}}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

${\displaystyle r=[r^{1},r^{2},r^{3}]^{T}=[x,y,z]^{T <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi><mo>=</mo><mo>[</mo><msup><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mo>]</mo><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mo>[</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><msup><mo>]</mo><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r=[r^{1},r^{2},r^{3}]^{T}=[x,y,z]^{T}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle w^{1}=\varphi <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>w</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi>φ</mi></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle w ^ {1} = varphi}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle w^{2}=\lambda , <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>w</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi>λ</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle w ^ {2} = lambda,}</annotation></semantics></math><img src=$

dans la deuxième forme fondamentale pour une surface (équation (123) dans ) :

{\displaystyle 2D=\sum _{ij}b_{ij}dw^{i}dw^{j}=e\,d\varphi ^{2}+2f\,d\varphi \,d\lambda +g\,d\lambda ^{2}, <semantics><mrow><mstyle><mn>2</mn><mi>D</mi><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></munder><msub><mi>b</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mi>d</mi><msup><mi>w</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mi>d</mi><msup><mi>w</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>e</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><msup><mi>φ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>f</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>φ</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>λ</mi><mo>+</mo><mi>g</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><msup><mi>λ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2D=\sum _{ij}b_{ij}dw^{i}dw^{j}=e\,d\varphi ^{2}+2f\,d\varphi \,d\lambda +g\,d\lambda ^{2},}</annotation></semantics></math></span><img src=

e , f et g sont des éléments du tenseur de forme :

{\displaystyle B=b_{ij}=\sum _{ u }n^{ u }{\frac {\partial ^{2}r^{ u }}{\partial w^{i}\partial w^{j}}}={\begin{bmatrix}e&f\\f&g\end{bmatrix}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>B</mi><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi></mrow></munder><msup><mi>n</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>∂</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>r</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>w</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mi>∂</mi><msup><mi>w</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>[</mo><mtable><mtr><mtd><mi>e</mi></mtd><mtd><mi>f</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi></mtd><mtd><mi>g</mi></mtd></mtr></mtable><mo>]</mo></mrow></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B=b_{ij}=\sum _{ u }n^{ u }{\frac {\partial ^{2}r^{ u }}{\partial w^{i}\partial w^{j}}}={\begin{bmatrix}e&f\\f&g\end{bmatrix}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

${\displaystyle n={\frac {N}{|N| <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>N</mi><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>N</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n={\frac {N}{|N|}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \varphi <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>φ</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \varphi }}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \lambda <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>λ</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \lambda }}}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle N={\frac {\partial r}{\partial \varphi }} imes {\frac {\partial r}{\partial \lambda <semantics><mrow><mstyle><mi>N</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>φ</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>×</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>λ</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle N={\frac {\partial r}{\partial \varphi }} imes {\frac {\partial r}{\partial \lambda }}}</annotation></semantics></math></span><img src=

est normal à la surface à . ${\displaystyle r <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour un sphéroïde aplati, les courbures sont ${\displaystyle F=f=0 <semantics><mrow><mstyle><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F=f=0}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \kappa _{1}={\frac {g}{G <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>κ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>g</mi><mi>G</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \kappa _{1}={\frac {g}{G}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \kappa _{2}={\frac {e}{E}}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>κ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>e</mi><mi>E</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \kappa _{2}={\frac {e}{E}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

et les rayons de courbure principaux sont

{\displaystyle R_{1}={\frac {1}{\kappa _{1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>κ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{1}={\frac {1}{\kappa _{1}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle R_{2}={\frac {1}{\kappa _{2}}}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>κ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{2}={\frac {1}{\kappa _{2}}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Les premier et deuxième rayons de courbure correspondent respectivement aux rayons de courbure méridien et vertical primaire de la Terre.

Géométriquement, la deuxième forme fondamentale donne la distance de à la tangente au plan en . ${\displaystyle r+dr <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>r</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r+dr}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r}</annotation></semantics></math><img src=$

Méridional

En particulier, le rayon de courbure méridien de la Terre (dans la direction nord-sud) à φ est

{\displaystyle M(\varphi )={\frac {(ab)^{2}}{{\big (}(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1-e^{2}}{a^{2}}}N(\varphi )^{3}, <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>sin</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M(\varphi )={\frac {(ab)^{2}}{{\big (}(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1-e^{2}}{a^{2}}}N(\varphi )^{3},}</annotation></semantics></math></span><img src=

Quelle est l' excentricité de la Terre ? Il s'agit du rayon mesuré par Ératosthène lors de sa mesure de l'arc . ${\displaystyle e <semantics><mrow><mstyle><mi>e</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e}</annotation></semantics></math><img src=$

Premier vertical

Si un point apparaissait plein est par rapport à l'autre, on trouverait la courbure approximative dans la direction est-ouest. Ce rayon de courbure vertical principal de la Terre , également appelé rayon de courbure transversal de la Terre , est défini perpendiculairement ( orthogonalement ) à M à la latitude géodésique φ et est

{\displaystyle N(\varphi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}. <semantics><mrow><mstyle><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msqrt><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>a</mi><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>sin</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>φ</mi></msqrt></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle N(\varphi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

N peut également être interprété géométriquement comme la distance normale entre la surface de l'ellipsoïde et l'axe polaire. Le rayon d'un parallèle de latitude est donné par . ${\displaystyle p=N\cos(\varphi ) <semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi><mo>=</mo><mi>N</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p=N\cos(\varphi )}</annotation></semantics></math><img src=$

Rayons de courbure combinés

Azimutal

Le rayon de courbure azimutal de la Terre d'une section normale à la Terre à un azimut (mesuré dans le sens horaire à partir du nord) α et à une latitude φ , est dérivé de la formule de courbure d'Euler comme suit :

{\displaystyle R_{\mathrm {c} }={\frac {1}{{\dfrac {\cos ^{2}\alpha }{M}}+{\dfrac {\sin ^{2}\alpha }{N <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mrow><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>cos</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>α</mi></mrow><mi>M</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo>+</mo><mrow><mstyle><mfrac><mrow><msup><mi>sin</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>α</mi></mrow><mi>N</mi></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{\mathrm {c} }={\frac {1}{{\dfrac {\cos ^{2}\alpha }{M}}+{\dfrac {\sin ^{2}\alpha }{N}}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle R_{\mathrm {c} }^{-1}=M^{-1}\cos ^{2}\alpha +N^{-1}\sin ^{2}\alpha , <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mi>M</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>cos</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>N</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>sin</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{\mathrm {c} }^{-1}=M^{-1}\cos ^{2}\alpha +N^{-1}\sin ^{2}\alpha ,}</annotation></semantics></math></span><img src=

où se situe la courbure azimutale de l'ellipsoïde ? ${\displaystyle R_{\mathrm {c} }^{-1 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{\mathrm {c} }^{-1}}</annotation></semantics></math><img src=$

Non directionnelle (gaussienne et moyenne)

Il est possible de combiner les rayons de courbure principaux ci-dessus de manière non directionnelle.

Le rayon de courbure gaussien de la Terre à la latitude φ est

{\displaystyle R_{ ext{a}}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {K}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{ ext{c}}(\alpha )\,d\alpha , <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mtext>a</mtext></mrow></msub><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>K</mi></msqrt></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></msubsup><msub><mi>R</mi><mrow><mtext>c</mtext></mrow></msub><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>α</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{ ext{a}}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {K}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{ ext{c}}(\alpha )\,d\alpha ,}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle R_{ ext{a}}(\varphi )={\sqrt {MN}}={\frac {a^{2}b}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mtext>a</mtext></mrow></msub><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msqrt><mi>M</mi><mi>N</mi></msqrt></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>b</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>sin</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>φ</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{ ext{a}}(\varphi )={\sqrt {MN}}={\frac {a^{2}b}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où K représente la courbure gaussienne . Le rayon de courbure gaussien est défini comme le produit des rayons de courbure principaux et intègre le rayon de courbure azimutal sur le cercle complet. Il correspond au rayon de la sphère osculatrice qui épouse au mieux l'ellipsoïde localement. ${\displaystyle K=\kappa _{1}\,\kappa _{2}. <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>=</mo><msub><mi>κ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mspace></mspace><msub><mi>κ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K=\kappa _{1}\,\kappa _{2}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R_{\mathrm {c} <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{\mathrm {c} }}</annotation></semantics></math><img src=$

Le rayon de courbure moyen de la Terre à la latitude φ est

{\displaystyle R_{ ext{m}}={\frac {2}{{\dfrac {1}{M}}+{\dfrac {1}{N <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mtext>m</mtext></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mrow><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mi>M</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo>+</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mi>N</mi></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{ ext{m}}={\frac {2}{{\dfrac {1}{M}}+{\dfrac {1}{N}}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle R_{ ext{m}}^{-1}={\frac {M^{-1}+N^{-1}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{c}^{-1}( heta )\;d heta . <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mtext>m</mtext></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>M</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>N</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></msubsup><msubsup><mi>R</mi><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>θ</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{ ext{m}}^{-1}={\frac {M^{-1}+N^{-1}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{c}^{-1}( heta )\;d heta .}</annotation></semantics></math></span><img src=

La courbure moyenne est égale à la moyenne arithmétique des deux courbures principales et intègre la courbure azimutale sur le cercle complet. ${\displaystyle R_{ ext{m}}^{-1 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mtext>m</mtext></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{ ext{m}}^{-1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R_{\mathrm {c} }^{-1 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>R</mi><mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{\mathrm {c} }^{-1}}</annotation></semantics></math><img src=$

Rayons de courbure équatoriaux

Le rayon de courbure méridien de la Terre à l'équateur est égal au demi-latus rectum du méridien :

{\displaystyle M(0{ ext{°}})={\frac {b^{2}}{a}}=\ell =6,335.439{ ext{ km. <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mrow><mtext>°</mtext></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>a</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mi>ℓ</mi><mo>=</mo><mn>6</mn><mo>,</mo><mn>335.439</mn><mrow><mtext> km.</mtext></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M(0{ ext{°}})={\frac {b^{2}}{a}}=\ell =6,335.439{ ext{ km.}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Le rayon de courbure vertical principal de la Terre à l'équateur est égal au rayon équatorial.

{\displaystyle N(0{ ext{°}})=a <semantics><mrow><mstyle><mi>N</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mrow><mtext>°</mtext></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>a</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle N(0{ ext{°}})=a}</annotation></semantics></math></span><img src=

Le rayon de courbure gaussien de la Terre à l'équateur se simplifie en rayon polaire ( et non en rayon équatorial) :

{\displaystyle R_{ ext{a}}(0{ ext{°}})=b <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mtext>a</mtext></mrow></msub><mo>(</mo><mn>0</mn><mrow><mtext>°</mtext></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{ ext{a}}(0{ ext{°}})=b}</annotation></semantics></math></span><img src=

Le rayon de courbure moyen de la Terre à l'équateur implique le semi-latus rectum :

{\displaystyle R_{ ext{m}}(0{ ext{°}})=2(a\cdot \ell )/(a+\ell )=6,356.716{ ext{ km. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mtext>m</mtext></mrow></msub><mo>(</mo><mn>0</mn><mrow><mtext>°</mtext></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>⋅</mo><mi>ℓ</mi><mo>)</mo><mrow><mo>/</mo></mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>ℓ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>6</mn><mo>,</mo><mn>356.716</mn><mrow><mtext> km.</mtext></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{ ext{m}}(0{ ext{°}})=2(a\cdot \ell )/(a+\ell )=6,356.716{ ext{ km.}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Rayons polaires de courbure

Le rayon de courbure de la Terre aux pôles (méridien ou vertical d'origine) est

{\displaystyle M(90{ ext{°}})=N(90{ ext{°}})={\frac {a^{2}}{b}}=6,399.594{ ext{ km. <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi><mo>(</mo><mn>90</mn><mrow><mtext>°</mtext></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>N</mi><mo>(</mo><mn>90</mn><mrow><mtext>°</mtext></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>b</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>6</mn><mo>,</mo><mn>399.594</mn><mrow><mtext> km.</mtext></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M(90{ ext{°}})=N(90{ ext{°}})={\frac {a^{2}}{b}}=6,399.594{ ext{ km.}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Les rayons de courbure gaussiens ou moyens de la Terre aux pôles sont également égaux aux rayons de courbure principaux aux pôles ( et non au rayon polaire) :

{\displaystyle R_{ ext{a}}(90{ ext{°}})=R_{ ext{m}}(90{ ext{°}})={\frac {a^{2}}{b <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mtext>a</mtext></mrow></msub><mo>(</mo><mn>90</mn><mrow><mtext>°</mtext></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mtext>m</mtext></mrow></msub><mo>(</mo><mn>90</mn><mrow><mtext>°</mtext></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>b</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{ ext{a}}(90{ ext{°}})=R_{ ext{m}}(90{ ext{°}})={\frac {a^{2}}{b}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Rayons globaux

La Terre peut être modélisée comme une sphère de plusieurs manières. Cette section décrit les méthodes courantes. Les différents rayons présentés ici utilisent la notation et les dimensions mentionnées ci-dessus pour la Terre, telles que dérivées de l' ellipsoïde WGS-84 ; à savoir,

Rayon équatorial : a = (6 378 .1370 km )

Rayon polaire : b = (6 356,7523 km )

La sphère étant une approximation grossière du sphéroïde, qui est lui-même une approximation du géoïde, les unités sont données ici en kilomètres plutôt qu'avec la résolution millimétrique appropriée à la géodésie.

rayon moyen arithmétique

En géophysique, l' Union internationale de géodésie et de géophysique (IUGG) définit le rayon moyen arithmétique de la Terre (noté R ₁ ) comme étant

{\displaystyle R_{1}={\frac {2a+b}{3}}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{1}={\frac {2a+b}{3}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Le facteur deux explique la symétrie biaxiale du sphéroïde terrestre, une spécialisation de l'ellipsoïde triaxial. Pour la Terre, le rayon moyen arithmétique est publié par l'UGGI et la NGA et s'élève à 6 371,0087714 km (3 958,7613160 mi).

Rayon authalique

Le rayon authalique de la Terre (signifiant « rayon d'aire égale » ) est le rayon d'une sphère parfaite hypothétique ayant la même aire que l' ellipsoïde de référence L' UGGI désigne le rayon authalique par R² . ₂ Une solution analytique existe pour un sphéroïde :

{\displaystyle R_{2}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{b/a}} ight)}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}{\frac { anh ^{-1}e}{e}}}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msqrt><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>e</mi></mfrac></mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>b</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>a</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></msqrt></mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt><mrow><mfrac><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>tanh</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>e</mi></mrow><mi>e</mi></mfrac></mrow></msqrt></mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mi>A</mi><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{2}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{b/a}} ight)}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}{\frac { anh ^{-1}e}{e}}}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ⁠ ⁠ ${\displaystyle extstyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\big /}a <semantics><mrow><mstyle><mstyle><mi>e</mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow><mrow><mrow><mo>/</mo></mrow></mrow><mi>a</mi></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\big /}a}</annotation></semantics></math><img src=$ est l'excentricité, et ⁠ ⁠ ${\displaystyle A <semantics><mrow><mstyle><mi>A</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A}</annotation></semantics></math><img src=$ est la surface du sphéroïde.

Pour la Terre, le rayon authalique est de 6 371,0072 km (3 958,7603 mi).

Le rayon authalique correspond également au rayon de courbure moyenne (globale) , obtenu en moyennant la courbure gaussienne, , sur la surface de l'ellipsoïde. En utilisant le théorème de Gauss-Bonnet , on obtient : ${\displaystyle R_{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle {\frac {\int K\,dA}{A}}={\frac {4\pi }{A}}={\frac {1}{R_{2}^{2}}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mo>∫</mo><mi>K</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>A</mi></mrow><mi>A</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow><mi>A</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {\int K\,dA}{A}}={\frac {4\pi }{A}}={\frac {1}{R_{2}^{2}}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

rayon volumétrique

Un autre modèle sphérique est défini par le rayon volumétrique de la Terre , qui est le rayon d'une sphère de volume égal à celui de l'ellipsoïde. L' désigne ce rayon volumétrique par R₃ . ₂

{\displaystyle R_{3}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mroot><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mroot></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{3}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Pour la Terre, le rayon volumétrique est égal à 6 371,0008 km (3 958,7564 mi).

Rayon de rectification

Un autre rayon global est le rayon rectifiant de la Terre , qui définit une sphère dont la circonférence est égale au périmètre de l'ellipse décrite par une section polaire quelconque de l'ellipsoïde. Le calcul de ce rayon nécessite une intégrale elliptique , connaissant les rayons polaire et équatorial.

{\displaystyle M_{ ext{r}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\varphi +b^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi . <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>M</mi><mrow><mtext>r</mtext></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mi>π</mi></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></msubsup><mrow><msqrt><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>cos</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>φ</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>sin</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>φ</mi></msqrt></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>φ</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M_{ ext{r}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\varphi +b^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi .}</annotation></semantics></math></span><img src=

Le rayon de rectification est équivalent à la moyenne méridienne, qui est définie comme la valeur moyenne de M :

{\displaystyle M_{ ext{r}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}M(\varphi )\,d\varphi . <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>M</mi><mrow><mtext>r</mtext></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mi>π</mi></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></msubsup><mi>M</mi><mo>(</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>φ</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M_{ ext{r}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}M(\varphi )\,d\varphi .}</annotation></semantics></math></span><img src=

Pour les limites d'intégration de [0, ⁠π/2⁠ ], les intégrales pour le rayon de rectification et le rayon moyen s'évaluent au même résultat, qui, pour la Terre, s'élève à 6 367,4491 km (3 956,5494 mi).

La moyenne méridienne est bien approchée par la moyenne semi-cubique des deux axes.

{\displaystyle M_{ ext{r}}\approx \left({\frac {a^{\frac {3}{2}}+b^{\frac {3}{2}}}{2}} ight)^{\frac {2}{3}}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>M</mi><mrow><mtext>r</mtext></mrow></msub><mo>≈</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M_{ ext{r}}\approx \left({\frac {a^{\frac {3}{2}}+b^{\frac {3}{2}}}{2}} ight)^{\frac {2}{3}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

qui diffère du résultat exact de moins de 1 μm (4 × 10⁻⁵ ^po ) ; la moyenne des deux axes,

{\displaystyle M_{ ext{r}}\approx {\frac {a+b}{2}}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>M</mi><mrow><mtext>r</mtext></mrow></msub><mo>≈</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M_{ ext{r}}\approx {\frac {a+b}{2}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

environ 6 367,445 km (3 956,547 mi) peuvent également être utilisés.

Rayons topographiques

Les expressions mathématiques ci-dessus s'appliquent à la surface de l'ellipsoïde. Les cas suivants considèrent la topographie terrestre , au-dessus ou au-dessous d'un ellipsoïde de référence . Il s'agit donc de distances géocentriques topographiques , R _t , qui dépendent non seulement de la latitude.

Extrêmes topographiques

R _t maximum : le sommet du Chimborazo est à 6 384,4 km (3 967,1 mi) du centre de la Terre.
R _t minimum : le fond de l' océan Arctique se situe à 6 352,8 km (3 947,4 mi) du centre de la Terre.

moyenne topographique globale

La distance géocentrique moyenne topographique calcule la moyenne des altitudes partout, ce qui donne une valeur230 m de plus que le rayon moyen de l'UGGI , le rayon authalique ou le rayon volumétrique . Cette moyenne topographique est de 6 371,230 km (3 958,899 mi) avec une incertitude de 10 m (33 pi).

Grandeurs dérivées : diamètre, circonférence, longueur d'arc, aire, volume

Le diamètre de la Terre est simplement le double de son rayon ; par exemple, le diamètre équatorial (2a ) et le diamètre polaire (2b ) . Pour l’ellipsoïde WGS84, cela donne respectivement :

2 une = 12 756,2740 km (7 926,3812 mi) ,

2b = 12 713,5046 km (7 899,8055 mi ) .

La circonférence de la Terre est égale à son périmètre . La circonférence équatoriale est simplement le périmètre du cercle : C _e = 2πa , en fonction du rayon équatorial a .

C _e = 40 075,0167 km (24 901,461 mi)

La circonférence polaire est égale à C _p = 4 m _p , quatre fois le quart de méridien m _p = aE ( e ) :

Cp = 40 007,8629173 km ( ₂₄ 859,733 mi)

Le rayon polaire b entre via l'excentricité e = (1 − b ² / a ² ) ^0,5 ; voir Ellipse#Circumference pour plus de détails.

La longueur d'arc de courbes de surface plus générales , telles que les arcs de méridien et les géodésiques , peut également être déduite des rayons équatoriaux et polaires de la Terre.

De même pour la surface , que ce soit basée sur une projection cartographique ou un polygone géodésique .

Le volume de la Terre , ou celui de l'ellipsoïde de référence, est donné par : En utilisant les paramètres de l'ellipsoïde de révolution WGS84 , a = 6 378,137 km et b = ${\displaystyle V={ frac {4}{3}}\pi a^{2}b. <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi><mo>=</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></mrow><mi>π</mi><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V={ frac {4}{3}}\pi a^{2}b.}</annotation></semantics></math><img src=$ 6 356 .752 3142 km , cela donne :

V = 1,08321 × 10 ¹² km ³ (2,5988 × 10 ¹¹ mi ³ )

Rayons nominaux

En astronomie, l' Union astronomique internationale désigne le rayon équatorial nominal de la Terre par r e, défini comme étant exactement égal à 6 378,1 km (3 963,2 mi) Le rayon polaire nominal de la Terre est défini comme étant exactement égal à 6 356,8 km (3 949,9 mi). Ces valeurs correspondent à la convention de marée terrestre nulle . Le rayon équatorial est conventionnellement utilisé comme valeur nominale, sauf si le rayon polaire est explicitement requis Le rayon nominal sert d' unité de longueur en astronomie . (La notation est définie de manière à pouvoir être facilement généralisée à d'autres planètes ; par exemple, pour le rayon polaire nominal de Jupiter .) ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{ ext{eE}}^{ ext{N <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow><mrow><mtext>eE</mtext></mrow><mrow><mtext>N</mtext></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {R}}_{ ext{eE}}^{ ext{N}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{ ext{pE}}^{ ext{N <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow><mrow><mtext>pE</mtext></mrow><mrow><mtext>N</mtext></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {R}}_{ ext{pE}}^{ ext{N}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{ ext{pJ}}^{ ext{N <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow><mrow><mtext>pJ</mtext></mrow><mrow><mtext>N</mtext></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {R}}_{ ext{pJ}}^{ ext{N}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Valeurs publiées

Ce tableau récapitule les valeurs acceptées du rayon de la Terre.

Agence	Description	Valeur (en mètres)
L'Union astronomique internationale (UAI)	marée zéro nominale équatoriale	6 378 100
L'Union astronomique internationale (UAI)	polaire nominale « marée zéro »	6 356 800
UUGG	rayon équatorial	6 378 137
UUGG	demi-petit axe ( b )	6 356 752 .3141
UUGG	rayon de courbure polaire ( c )	6 399 593 .6259
UUGG	rayon moyen ( R ₁ )	6 371 008 .7714
UUGG	rayon de la sphère de même surface ( R ₂ )	6 371 007 .1810
UUGG	rayon de la sphère de même volume ( R ₃ )	6 371 000 .7900
NGA	Ellipsoïde WGS-84 , demi-grand axe ( a )	6 378 137 .0
NGA	Ellipsoïde WGS-84, demi-petit axe ( b )	6 356 752 .3142
NGA	Ellipsoïde WGS-84, rayon de courbure polaire ( c )	6 399 593 .6258
NGA	Ellipsoïde WGS-84, rayon moyen des demi-axes ( R ₁ )	6 371 008 .7714
NGA	Ellipsoïde WGS-84, rayon de la sphère d'aire égale ( R² ₎	6 371 007 .1809
NGA	Ellipsoïde WGS-84, rayon de la sphère de volume égal ( R3 ₎	6 371 000 .7900
	demi-grand axe GRS 80 ( a )	6 378 137 .0
	demi-petit axe GRS 80 ( b )	≈6 356 752 .314 140
	Terre sphérique Approximation du rayon ( R _E )	6 366 707 .0195
	Rayon de courbure méridien à l'équateur	6 335 439
	Maximum (le sommet du Chimborazo)	6 384 400
	Minimum (le fond de l'océan Arctique)	6 352 800
	Distance moyenne du centre à la surface	6 371 230 ± 10

Histoire

La première mention écrite de la taille de la Terre remonte à environ 350 av. J.-C. , lorsqu'Aristote rapporte dans son ouvrage *Du Ciel que des mathématiciens avaient estimé la circonférence de la Terre à 400 000 stades . Les érudits ont interprété cette estimation d'Aristote de manière très variable, allant d'une grande précision à près du double de la valeur réelle [ La première mesure et le premier calcul scientifique connus de la circonférence de la Terre ont été effectués par Ératosthène vers 240 av. J.-C. Les estimations de l'erreur de cette mesure varient de 0,5 % à 17 % . Pour Aristote comme pour Ératosthène, l'incertitude quant à la précision de leurs estimations est due à l'incertitude moderne concernant la longueur du stade qu'ils entendaient par là.

Vers 100 av. J.-C., Posidonius d'Apamée recalcula le rayon de la Terre et constata qu'il était proche de celui d'Ératosthène , mais Strabon lui attribua plus tard, à tort, une valeur environ égale aux trois quarts de la taille réelle . Claude Ptolémée, vers 150 apr. J.-C., apporta des preuves empiriques en faveur de la sphéricité de la Terre , mais il accepta la valeur inférieure attribuée à Posidonius. Son œuvre majeure, l' Almageste [ laissa aucun doute parmi les érudits médiévaux quant à la sphéricité de la Terre, mais ils se trompaient sur sa taille.

En 1490, Christophe Colomb pensait qu'un voyage de 4 800 kilomètres (3 000 milles) vers l'ouest depuis la côte ouest de la péninsule Ibérique lui permettrait d'atteindre les côtes orientales de l'Asie . Cependant, le lancement de ce voyage en 1492 amena sa flotte aux Amériques . L' expédition de Magellan (1519-1522), premier tour du monde, démontra clairement la sphéricité de la Terre et confirma la mesure initiale de 40 000 km (25 000 milles) établie par Ératosthène.

Vers 1690, Isaac Newton et Christiaan Huygens avancèrent que la Terre était plus proche d'un sphéroïde aplati que d'une sphère. Cependant, vers 1730, Jacques Cassini défendit l'idée d'un sphéroïde allongé , en raison de divergences d'interprétation des lois de la mécanique newtonienne . Pour trancher la question, la Mission géodésique française (1735-1739) mesura un degré de latitude en deux points, l'un près du cercle polaire arctique et l'autre près de l' équateur . L'expédition confirma la conjecture de Newton : la Terre est aplatie aux pôles sous l'effet de la force centrifuge due à sa rotation .