Vortex

En dynamique des fluides , un vortex ( pl. : tourbillons ou tourbillons ) est une région d'un fluide dans laquelle l'écoulement tourne autour d'un axe, qui peut être droit ou courbe. Les tourbillons se forment dans les fluides agités et peuvent être observés dans les anneaux de fumée , les tourbillons dans le sillage d'un bateau et les vents entourant un cyclone tropical , une tornade ou un tourbillon de poussière .

Les tourbillons sont un élément majeur de l'écoulement turbulent . La distribution de la vitesse, la vorticité ( courbure de la vitesse d'écoulement), ainsi que le concept de circulation sont utilisés pour caractériser les tourbillons. Dans la plupart des tourbillons, la vitesse d'écoulement du fluide est maximale à proximité de son axe et diminue en proportion inverse de la distance par rapport à l'axe.

En l'absence de forces externes, la friction visqueuse au sein du fluide tend à organiser l'écoulement en un ensemble de tourbillons irrotationnels, éventuellement superposés à des écoulements à plus grande échelle, y compris des tourbillons à plus grande échelle. Une fois formés, les tourbillons peuvent se déplacer, s'étirer, se tordre et interagir de manière complexe. Un tourbillon en mouvement transporte avec lui un certain moment angulaire et linéaire, de l'énergie et de la masse.

Dans la dynamique des fluides, un vortex est un fluide qui tourne autour d'un axe. Ce fluide peut être courbé ou rectiligne. Les vortex se forment à partir de fluides agités : on peut les observer dans des anneaux de fumée , des tourbillons , dans le sillage d'un bateau ou dans les vents autour d'une tornade ou d'un tourbillon de poussière .

Les tourbillons sont une partie importante de l'écoulement turbulent . Les tourbillons peuvent également être connus comme le mouvement circulaire d'un liquide. En l'absence de forces, le liquide se stabilise. Cela fait que l'eau reste immobile au lieu de bouger.

Lorsqu'ils sont créés, les tourbillons peuvent se déplacer, s'étirer, se tordre et interagir de manière complexe. Lorsqu'un tourbillon est en mouvement, il peut parfois affecter une position angulaire.

Par exemple, si un seau d'eau est tourné ou pivoté en permanence, il tournera autour d'une ligne invisible appelée ligne d'axe. La rotation se déroule en cercles. Dans cet exemple, la rotation du seau crée une force supplémentaire.

La raison pour laquelle les tourbillons peuvent changer de forme est le fait qu'ils ont des trajectoires de particules ouvertes. Cela peut créer un tourbillon en mouvement. Les formes des tornades et des tourbillons d'évacuation en sont des exemples .

Lorsque deux ou plusieurs tourbillons sont proches les uns des autres, ils peuvent fusionner pour former un vortex. Les tourbillons retiennent également l'énergie dans la rotation du fluide. Si l'énergie n'est jamais retirée, il s'agira d'un mouvement circulaire permanent.

Un concept clé dans la dynamique des tourbillons est la vorticité , un vecteur qui décrit le mouvement rotatif local en un point du fluide, tel qu'il serait perçu par un observateur qui se déplace avec lui. Conceptuellement, la vorticité pourrait être observée en plaçant une petite boule rugueuse au point en question, libre de se déplacer avec le fluide, et en observant comment elle tourne autour de son centre. La direction du vecteur de vorticité est définie comme étant la direction de l'axe de rotation de cette boule imaginaire (selon la règle de la main droite ) tandis que sa longueur est deux fois la vitesse angulaire de la boule . Mathématiquement, la vorticité est définie comme la courbure (ou rotation) du champ de vitesse du fluide, généralement désignée par et exprimée par la formule d'analyse vectorielle , où est l' opérateur nabla et est la vitesse d'écoulement locale.

La rotation locale mesurée par la vorticité ne doit pas être confondue avec le vecteur vitesse angulaire de cette portion du fluide par rapport au milieu extérieur ou à un axe fixe quelconque. Dans un tourbillon, en particulier, elle peut être opposée au vecteur vitesse angulaire moyen du fluide par rapport à l'axe du tourbillon.

En théorie, la vitesse u des particules (et donc la vorticité) dans un vortex peut varier de plusieurs façons en fonction de la distance r par rapport à l'axe. Il existe cependant deux cas particuliers importants :

• Si le fluide tourne comme un corps rigide, c'est-à-dire si la vitesse angulaire de rotation Ω est uniforme, de sorte que u augmente proportionnellement à la distance r par rapport à l'axe, une petite bille portée par l'écoulement tournerait également autour de son centre comme si elle faisait partie de ce corps rigide. Dans un tel écoulement, le tourbillon est le même partout : sa direction est parallèle à l'axe de rotation et sa grandeur est égale à deux fois la vitesse angulaire uniforme Ω du fluide autour du centre de rotation.

• Si la vitesse des particules u est inversement proportionnelle à la distance r par rapport à l'axe, alors la bille test imaginaire ne tournerait pas sur elle-même ; elle conserverait la même orientation tout en se déplaçant en cercle autour de l'axe du vortex. Dans ce cas, la vorticité est nulle en tout point qui n'est pas sur cet axe, et l'écoulement est dit irrotationnel .

En l'absence de forces externes, un tourbillon évolue généralement assez rapidement vers un modèle d'écoulement irrotationnel , où la vitesse d'écoulement u est inversement proportionnelle à la distance r . Les tourbillons irrotationnels sont également appelés tourbillons libres .

Pour un vortex irrotationnel, la circulation est nulle le long de tout contour fermé qui n'entoure pas l'axe du vortex ; et a une valeur fixe, Γ , pour tout contour qui entoure l'axe une fois. La composante tangentielle de la vitesse des particules est alors . Le moment angulaire par unité de masse par rapport à l'axe du vortex est donc constant, .

L'écoulement tourbillonnaire irrotationnel idéal dans l'espace libre n'est pas physiquement réalisable, car cela impliquerait que la vitesse des particules (et donc la force nécessaire pour maintenir les particules sur leur trajectoire circulaire) augmenterait sans limite à mesure que l'on se rapproche de l'axe du tourbillon. En effet, dans les tourbillons réels, il existe toujours une région centrale entourant l'axe où la vitesse des particules cesse d'augmenter puis diminue jusqu'à zéro lorsque r tend vers zéro. Dans cette région, l'écoulement n'est plus irrotationnel : la vorticité devient non nulle, avec une direction à peu près parallèle à l'axe du tourbillon. Le tourbillon de Rankine est un modèle qui suppose un écoulement rotationnel à corps rigide où r est inférieur à une distance fixe r ₀ , et un écoulement irrotationnel en dehors de ces régions centrales.

Dans un fluide visqueux, l'écoulement irrotationnel contient une dissipation visqueuse partout, mais il n'y a pas de forces visqueuses nettes, seulement des contraintes visqueuses. En raison de la dissipation, cela signifie que le maintien d'un vortex visqueux irrotationnel nécessite un apport continu de travail au noyau (par exemple, en faisant tourner régulièrement un cylindre au noyau). Dans l'espace libre, il n'y a pas d'apport d'énergie au noyau, et donc la vorticité compacte contenue dans le noyau se diffusera naturellement vers l'extérieur, transformant le noyau en un écoulement de corps rigide ralentissant et augmentant progressivement, entouré par l'écoulement irrotationnel d'origine. Un tel vortex irrotationnel en décroissance a une solution exacte des équations visqueuses de Navier-Stokes , connue sous le nom de vortex de Lamb-Oseen .

Un tourbillon rotatif – un tourbillon qui tourne de la même manière qu’un corps rigide – ne peut pas exister indéfiniment dans cet état, sauf par l’application d’une force supplémentaire, qui n’est pas générée par le mouvement du fluide lui-même. Il a une vorticité non nulle partout en dehors du noyau. Les tourbillons rotatifs sont également appelés tourbillons à corps rigide ou tourbillons forcés.

Par exemple, si l'on fait tourner un seau d'eau à une vitesse angulaire constante w autour de son axe vertical, l'eau finira par tourner comme un corps rigide. Les particules se déplaceront alors le long de cercles, avec une vitesse u égale à wr . Dans ce cas, la surface libre de l'eau prendra une forme parabolique .

Dans cette situation, l'enceinte rigide rotative fournit une force supplémentaire, à savoir un gradient de pression supplémentaire dans l'eau, dirigé vers l'intérieur, qui empêche la transition de l'écoulement du corps rigide vers l'état irrotationnel.

Les structures tourbillonnaires sont définies par leur vorticité , la vitesse de rotation locale des particules de fluide. Elles peuvent se former via le phénomène connu sous le nom de séparation de couche limite qui peut se produire lorsqu'un fluide se déplace sur une surface et subit une accélération rapide de la vitesse du fluide à zéro en raison de la condition d'absence de glissement . Cette accélération négative rapide crée une couche limite qui provoque une rotation locale du fluide au niveau de la paroi (c'est-à-dire la vorticité ), appelée taux de cisaillement de la paroi. L'épaisseur de cette couche limite est proportionnelle à (où v est la vitesse du fluide en écoulement libre et t le temps).

Si le diamètre ou l'épaisseur du récipient ou du fluide est inférieur à l'épaisseur de la couche limite, celle-ci ne se séparera pas et aucun tourbillon ne se formera. Cependant, lorsque la couche limite dépasse cette épaisseur critique, une séparation se produit, ce qui génère des tourbillons.

Cette séparation de la couche limite peut également se produire en présence de gradients de pression antagonistes (c'est-à-dire une pression qui se développe en aval). Cela se produit dans les surfaces courbes et les changements de géométrie générale comme une surface convexe. Un exemple unique de changements géométriques sévères se situe au bord de fuite d'un corps émoussé où se situe la décélération de l'écoulement du fluide, et donc la formation de la couche limite et du tourbillon.

Une autre forme de formation de tourbillons sur une limite se produit lorsque le fluide s'écoule perpendiculairement dans une paroi et crée un effet d'éclaboussure. Les lignes de courant de vitesse sont immédiatement déviées et décélérées de sorte que la couche limite se sépare et forme un anneau de tourbillon toroïdal .

Dans un tourbillon stationnaire, la ligne de courant typique (une ligne qui est partout tangente au vecteur de vitesse d'écoulement) est une boucle fermée entourant l'axe ; et chaque ligne de tourbillon (une ligne qui est partout tangente au vecteur de vorticité) est à peu près parallèle à l'axe. Une surface qui est partout tangente à la fois à la vitesse d'écoulement et à la vorticité est appelée un tube tourbillonnaire . En général, les tubes tourbillonnaires sont imbriqués autour de l'axe de rotation. L'axe lui-même est l'une des lignes tourbillonnaires, un cas limite d'un tube tourbillonnaire de diamètre nul.

Selon les théorèmes de Helmholtz , une ligne de tourbillon ne peut pas commencer ou se terminer dans le fluide, sauf momentanément, dans un écoulement non stationnaire, pendant que le tourbillon se forme ou se dissipe. En général, les lignes de tourbillon (en particulier la ligne d'axe) sont soit des boucles fermées, soit se terminent à la limite du fluide. Un tourbillon est un exemple de ce dernier cas, à savoir un tourbillon dans une masse d'eau dont l'axe se termine à la surface libre. Un tube de tourbillon dont les lignes de tourbillon sont toutes fermées sera une surface de type tore fermé.

Un tourbillon nouvellement créé s'étend et se courbe rapidement de manière à éliminer toutes les lignes de tourbillon ouvertes. Par exemple, lorsqu'un moteur d'avion démarre, un tourbillon se forme généralement devant chaque hélice ou le turboréacteur de chaque réacteur . Une extrémité de la ligne de tourbillon est attachée au moteur, tandis que l'autre extrémité s'étire et se courbe généralement jusqu'à atteindre le sol.

Lorsque les tourbillons sont rendus visibles par des traînées de fumée ou d'encre, ils peuvent sembler avoir des trajectoires en spirale ou des lignes de courant. Cependant, cette apparence est souvent une illusion et les particules de fluide se déplacent sur des trajectoires fermées. Les traînées en spirale que l'on prend pour des lignes de courant sont en fait des nuages ​​de fluide marqueur qui s'étendaient à l'origine sur plusieurs tubes vortex et qui ont été étirés en formes de spirale par la distribution non uniforme de la vitesse d'écoulement.

Le mouvement du fluide dans un vortex crée une pression dynamique (en plus de la pression hydrostatique ) qui est la plus faible dans la région centrale, la plus proche de l'axe, et qui augmente à mesure qu'on s'en éloigne, conformément au principe de Bernoulli . On peut dire que c'est le gradient de cette pression qui force le fluide à suivre une trajectoire courbe autour de l'axe.

Dans un écoulement tourbillonnaire à corps rigide d'un fluide de masse volumique constante , la pression dynamique est proportionnelle au carré de la distance r par rapport à l'axe. Dans un champ de gravité constant, la surface libre du liquide, si elle est présente, est un paraboloïde concave .

Dans un écoulement tourbillonnaire irrotationnel avec une densité de fluide constante et une symétrie cylindrique, la pression dynamique varie comme P _∞ − ⁠K/r ²⁠ , où P _∞ est la pression limite infiniment loin de l'axe. Cette formule fournit une autre contrainte pour l'étendue du noyau, puisque la pression ne peut pas être négative. La surface libre (si elle est présente) plonge brusquement près de la ligne d'axe, avec une profondeur inversement proportionnelle à r ² . La forme formée par la surface libre est appelée un hyperboloïde , ou « Corne de Gabriel » (par Evangelista Torricelli ).

Le noyau d'un vortex dans l'air est parfois visible car la vapeur d'eau se condense lorsque la basse pression du noyau provoque un refroidissement adiabatique ; l'entonnoir d'une tornade en est un exemple. Lorsqu'une ligne de vortex se termine à une surface limite, la pression réduite peut également attirer de la matière de cette surface vers le noyau. Par exemple, un tourbillon de poussière est une colonne de poussière ramassée par le noyau d'un vortex d'air attaché au sol. Un vortex qui se termine à la surface libre d'une masse d'eau (comme le tourbillon qui se forme souvent au-dessus d'un drain de baignoire) peut attirer une colonne d'air vers le bas du noyau. Le vortex avant s'étendant depuis le réacteur d'un avion stationné peut aspirer de l'eau et de petites pierres dans le noyau, puis dans le moteur.

Les tourbillons ne doivent pas nécessairement être des structures stables ; ils peuvent se déplacer et changer de forme. Dans un tourbillon en mouvement, les trajectoires des particules ne sont pas fermées, mais sont des courbes ouvertes et bouclées comme des hélices et des cycloïdes . Un écoulement tourbillonnaire peut également être combiné avec un modèle d'écoulement radial ou axial. Dans ce cas, les lignes de courant et les trajectoires ne sont pas des courbes fermées mais des spirales ou des hélices, respectivement. C'est le cas dans les tornades et dans les tourbillons de drainage. Un tourbillon avec des lignes de courant hélicoïdales est dit solénoïdal .

Tant que les effets de viscosité et de diffusion sont négligeables, le fluide contenu dans un vortex en mouvement est entraîné avec lui. En particulier, le fluide du noyau (et la matière qu'il contient) tend à rester dans le noyau lorsque le vortex se déplace. C'est une conséquence du deuxième théorème de Helmholtz . Ainsi, les vortex (contrairement aux ondes de surface et aux ondes de pression ) peuvent transporter de la masse, de l'énergie et de l'impulsion sur des distances considérables par rapport à leur taille, avec une dispersion étonnamment faible. Cet effet est démontré par des anneaux de fumée et exploité dans les jouets et les pistolets à anneaux vortex .

Deux ou plusieurs tourbillons approximativement parallèles et circulant dans la même direction s'attirent et finissent par fusionner pour former un seul tourbillon, dont la circulation est égale à la somme des circulations des tourbillons constitutifs. Par exemple, une aile d'avion qui développe une portance crée une nappe de petits tourbillons sur son bord de fuite. Ces petits tourbillons fusionnent pour former un seul tourbillon d'extrémité d'aile , à moins d'une corde d'aile en aval de ce bord. Ce phénomène se produit également avec d'autres profils aérodynamiques actifs , tels que les pales d'hélice . En revanche, deux tourbillons parallèles ayant des circulations opposées (comme les deux tourbillons d'extrémité d'aile d'un avion) ​​ont tendance à rester séparés.

Les tourbillons contiennent une énergie considérable dans le mouvement circulaire du fluide. Dans un fluide idéal, cette énergie ne peut jamais être dissipée et le tourbillon persisterait éternellement. Cependant, les fluides réels présentent une viscosité qui dissipe l'énergie très lentement depuis le cœur du tourbillon. Ce n'est que par la dissipation d'un tourbillon en raison de la viscosité qu'une ligne de tourbillon peut se terminer dans le fluide, plutôt qu'à la limite du fluide.

• Dans l' interprétation hydrodynamique du comportement des champs électromagnétiques , l'accélération d'un fluide électrique dans une direction particulière crée un tourbillon positif de fluide magnétique. Celui-ci crée à son tour autour de lui un tourbillon négatif correspondant de fluide électrique. Les solutions exactes aux équations magnétiques non linéaires classiques comprennent l' équation de Landau-Lifshitz , le modèle continu de Heisenberg , l' équation d'Ishimori et l' équation non linéaire de Schrödinger .
• Les anneaux tourbillonnaires sont des tourbillons en forme de tore dont l'axe de rotation est une courbe fermée continue. Les anneaux de fumée et les anneaux de bulles en sont deux exemples bien connus.
• La force de portance des ailes d'avion , des pales d'hélice , des voiles et autres profils aérodynamiques peut s'expliquer par la création d'un vortex superposé au flux d'air passant devant l'aile.
• La traînée aérodynamique peut s’expliquer en grande partie par la formation de tourbillons dans le fluide environnant qui évacuent l’énergie du corps en mouvement.
• Les marées océaniques peuvent provoquer de grands tourbillons dans certains détroits ou baies . Citons par exemple Charybde dans la mythologie classique dans le détroit de Messine , en Italie, les tourbillons de Naruto à Nankaido , au Japon, et le Maelström à Lofoten , en Norvège.
• Les tourbillons dans l' atmosphère terrestre sont des phénomènes importants pour la météorologie . Ils comprennent les mésocyclones de quelques kilomètres, les tornades, les trombes marines et les ouragans. Ces tourbillons sont souvent provoqués par les variations de température et d'humidité liées à l'altitude. Le sens de rotation des ouragans est influencé par la rotation de la Terre. Un autre exemple est le vortex polaire , un cyclone persistant à grande échelle centré près des pôles de la Terre, dans la moyenne et la haute troposphère et dans la stratosphère.
• Les tourbillons sont des caractéristiques importantes de l'atmosphère des autres planètes . On peut citer notamment la Grande Tache rouge permanente de Jupiter , la Grande Tache sombre intermittente de Neptune , les tourbillons polaires de Vénus , les tourbillons de poussière martiens et l' Hexagone polaire nord de Saturne .
• Les taches solaires sont des régions sombres de la surface visible du Soleil ( photosphère ) marquées par une température plus basse que son environnement et une activité magnétique intense.
• Les disques d’accrétion des trous noirs et d’autres sources gravitationnelles massives.
• L'écoulement de Taylor-Couette se produit dans un fluide entre deux cylindres imbriqués, l'un rotatif, l'autre fixe.