Écart quadratique moyen

L' écart quadratique moyen ( RMSD ) ou l'erreur quadratique moyenne ( RMSE ) est l'une des deux mesures étroitement liées et fréquemment utilisées des différences entre les valeurs vraies ou prédites d'une part et les valeurs observées ou un estimateur d'autre part.

L'écart type RMSD d'un échantillon est la moyenne quadratique des différences entre les valeurs observées et les valeurs prédites. Ces écarts sont appelés résidus lorsque les calculs sont effectués sur l'échantillon de données qui a été utilisé pour l'estimation (et sont donc toujours en référence à une estimation) et sont appelés erreurs (ou erreurs de prédiction) lorsqu'ils sont calculés hors échantillon (c'est-à-dire sur l'ensemble complet, en faisant référence à une valeur vraie plutôt qu'à une estimation). L'écart type RMSD sert à regrouper les ampleurs des erreurs dans les prédictions pour divers points de données en une seule mesure du pouvoir prédictif. L'écart type RMSD est une mesure de précision , permettant de comparer les erreurs de prévision de différents modèles pour un ensemble de données particulier et non entre les ensembles de données, car il dépend de l'échelle.

La RMSD est toujours non négative et une valeur de 0 (presque jamais atteinte dans la pratique) indiquerait une adéquation parfaite aux données. En général, une RMSD plus faible est meilleure qu'une plus élevée. Cependant, les comparaisons entre différents types de données ne seraient pas valides car la mesure dépend de l'échelle des nombres utilisés.

RMSD est la racine carrée de la moyenne des erreurs au carré. L'effet de chaque erreur sur RMSD est proportionnel à la taille de l'erreur au carré ; ainsi, les erreurs plus importantes ont un effet disproportionné sur RMSD. Par conséquent, RMSD est sensible aux valeurs aberrantes .

L'écart type RMSD d'un estimateur par rapport à un paramètre estimé est défini comme la racine carrée de l' erreur quadratique moyenne :

Pour un estimateur non biaisé , le RMSD est la racine carrée de la variance , appelée écart type .

Si X ₁ , ..., X _n est un échantillon d'une population avec une valeur moyenne réelle , alors le RMSD de l'échantillon est

La RMSD des valeurs prédites pour les temps t d'une variable dépendante d'une régression avec des variables observées sur T temps, est calculée pour T prédictions différentes comme la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts :

(Pour les régressions sur des données transversales , l'indice t est remplacé par i et T est remplacé par n .)

Dans certaines disciplines, la RMSD est utilisée pour comparer les différences entre deux éléments qui peuvent varier, dont aucun n'est accepté comme la « norme ». Par exemple, lors de la mesure de la différence moyenne entre deux séries chronologiques et , la formule devient

La normalisation de l'écart type RMSD facilite la comparaison entre des ensembles de données ou des modèles à différentes échelles. Bien qu'il n'existe pas de moyen de normalisation cohérent dans la littérature, les choix courants sont la moyenne ou la plage (définie comme la valeur maximale moins la valeur minimale) des données mesurées :

Cette valeur est communément appelée écart quadratique moyen normalisé ou erreur (NRMSD ou NRMSE), et souvent exprimée en pourcentage, où les valeurs inférieures indiquent une variance résiduelle plus faible. On l'appelle également coefficient de variation ou pourcentage RMS . Dans de nombreux cas, en particulier pour les échantillons plus petits, la plage d'échantillons est susceptible d'être affectée par la taille de l'échantillon, ce qui entraverait les comparaisons.

Une autre méthode possible pour rendre le RMSD plus utile en tant que mesure de comparaison consiste à diviser le RMSD par l' écart interquartile (IQR). En divisant le RMSD par l'IQR, la valeur normalisée devient moins sensible aux valeurs extrêmes de la variable cible.

avec et où CDF ⁻¹ est la fonction quantile .

Lors de la normalisation par la valeur moyenne des mesures, le terme coefficient de variation du RMSD, CV(RMSD) peut être utilisé pour éviter toute ambiguïté. Ceci est analogue au coefficient de variation avec le RMSD prenant la place de l' écart type .

Certains chercheurs ont recommandé l'utilisation de l' erreur absolue moyenne (MAE) au lieu de l'écart quadratique moyen. La MAE présente des avantages en termes d'interprétabilité par rapport à la RMSD. La MAE est la moyenne des valeurs absolues des erreurs. La MAE est fondamentalement plus facile à comprendre que la racine carrée de la moyenne des erreurs au carré. De plus, chaque erreur influence la MAE en proportion directe de la valeur absolue de l'erreur, ce qui n'est pas le cas de la RMSD.

• En météorologie , voir avec quelle efficacité un modèle mathématique prédit le comportement de l' atmosphère .
• En bioinformatique , l' écart quadratique moyen des positions atomiques est la mesure de la distance moyenne entre les atomes de protéines superposées .
• Dans la conception de médicaments basée sur la structure , le RMSD est une mesure de la différence entre une conformation cristalline de la conformation du ligand et une prédiction d'amarrage .
• En économie , l'écart type RMSD est utilisé pour déterminer si un modèle économique correspond aux indicateurs économiques . Certains experts ont fait valoir que l'écart type RMSD est moins fiable que l'erreur absolue relative.
• En psychologie expérimentale , le RMSD est utilisé pour évaluer dans quelle mesure les modèles mathématiques ou informatiques de comportement expliquent le comportement observé empiriquement.
• Dans les SIG , le RMSD est une mesure utilisée pour évaluer la précision de l'analyse spatiale et de la télédétection.
• En hydrogéologie , le RMSD et le NRMSD sont utilisés pour évaluer l'étalonnage d'un modèle d'eau souterraine.
• En science de l'imagerie , le RMSD fait partie du rapport signal/bruit de pointe , une mesure utilisée pour évaluer les performances d'une méthode de reconstruction d'une image par rapport à l'image d'origine.
• En neurosciences computationnelles , le RMSD est utilisé pour évaluer dans quelle mesure un système apprend un modèle donné.
• En spectroscopie de résonance magnétique nucléaire des protéines , le RMSD est utilisé comme mesure pour estimer la qualité du faisceau de structures obtenu.
• Les candidatures pour le prix Netflix ont été jugées à l'aide du RMSD des valeurs « vraies » non divulguées de l'ensemble de données de test.
• Dans la simulation de la consommation énergétique des bâtiments, le RMSE et le CV(RMSE) sont utilisés pour calibrer les modèles en fonction des performances mesurées du bâtiment .
• En cristallographie aux rayons X , le RMSD (et le RMSZ) est utilisé pour mesurer l'écart des coordonnées internes moléculaires par rapport aux valeurs de la bibliothèque de contraintes.
• Dans la théorie du contrôle, le RMSE est utilisé comme mesure de qualité pour évaluer les performances d'un observateur d'état .
• En dynamique des fluides , l'écart quadratique moyen normalisé (NRMSD), le coefficient de variation (CV) et le pourcentage RMS sont utilisés pour quantifier l'uniformité du comportement de l'écoulement, comme le profil de vitesse, la distribution de température ou la concentration des espèces de gaz. La valeur est comparée aux normes industrielles pour optimiser la conception des équipements et des processus d'écoulement et thermiques.