Réalisation (probabilité)

probabilités et en statistiques , une réalisation ou observation (également appelée valeur observée ) d'une variable aléatoire ou d'un élément aléatoire est la valeur effectivement observée ou mesurée . Par exemple, si la variable aléatoire est la taille humaine , une réalisation donnée pourrait être « 2 mètres ». La variable aléatoire elle-même est le processus qui détermine la manière dont l'observation est réalisée. Les quantités statistiques calculées à partir de réalisations sans recourir à un modèle statistique sont souvent qualifiées d'« empiriques », comme dans fonction de répartition empirique ou probabilité empirique . Par convention, pour éviter toute confusion, les lettres majuscules désignent les variables aléatoires et les lettres minuscules correspondantes désignent leurs réalisations.

théorie des probabilités , une variable aléatoire est une fonction définie d'un espace d'échantillonnage vers un autre espace mesurable appelé espace d'états . Si un élément de l'espace d'échantillonnage est associé à un élément de l'espace d'états par une fonction , alors cet élément de l'espace d'états est une réalisation. Autrement dit, en un point , la valeur est appelée une réalisation de .

Les éléments de l'espace échantillonnal représentent l'ensemble des possibilités possibles; une réalisation (élément de l'espace d'états) correspond à la valeur atteinte lorsqu'une de ces possibilités se réalise. La probabilité est une fonction qui associe des nombres compris entre zéro et un à certains sous-ensembles de l'espace échantillonnal, appelés sous-ensembles mesurables, ou événements . Les sous-ensembles de l'espace échantillonnal ne contenant qu'un seul élément sont appelés événements élémentaires .

variable aléatoire

En probabilités et en statistiques , une variable aléatoire, ou simplement variable aléatoire, est un résultat particulier ou une réalisation d'une variable aléatoire ; les variables aléatoires qui sont d'autres résultats de la même variable aléatoire peuvent avoir des valeurs différentes ( nombres aléatoires ou autres symboles ou étiquettes aléatoires). Les variables aléatoires sont utilisées lors de la simulation de processus pilotés par des influences aléatoires ( processus stochastiques ).

Devroye définit un algorithme de génération de variables aléatoires (pour les nombres réels ) comme suit :

Supposons que

Les ordinateurs peuvent manipuler des nombres réels.
Les ordinateurs ont accès à une source de variables aléatoires uniformément distribuées sur l' intervalle fermé [0,1].

Alors un algorithme de génération de variables aléatoires est tout programme qui s'arrête presque sûrement et se termine avec un nombre réel x . Ce x est appelé une variable aléatoire .

Il convient de noter que ces deux hypothèses sont violées par la plupart des ordinateurs. Ces derniers sont nécessairement incapables de manipuler des nombres réels et utilisent généralement des représentations à virgule flottante . La plupart des ordinateurs ne disposent pas d'une source de véritable aléatoire (comme certains générateurs de nombres aléatoires matériels ) et utilisent à la place des séquences de nombres pseudo-aléatoires .

La distinction entre variable aléatoire et variable aléatoire est subtile et n'est pas toujours faite dans la littérature. Elle est utile lorsqu'on souhaite distinguer une variable aléatoire elle-même, dotée d'une distribution de probabilité associée , des tirages aléatoires issus de cette distribution, notamment lorsque ces tirages sont finalement obtenus par arithmétique à virgule flottante à partir d'une séquence pseudo-aléatoire.