Fonction génératrice de probabilité

En théorie des probabilités , la fonction génératrice des probabilités d'une variable aléatoire discrète est une représentation en série entière (la fonction génératrice ) de la fonction de masse de probabilité de cette variable aléatoire . Les fonctions génératrices des probabilités sont souvent utilisées pour leur description concise de la suite des probabilités Pr( X = i ) dans la fonction de masse de probabilité d'une variable aléatoire X , et pour rendre accessible la théorie bien établie des séries entières à coefficients non négatifs.

variable aléatoire discrète prenant des valeurs x dans les entiers non négatifs {0,1, ...}, alors la fonction génératrice de probabilité de X est définie comme

$où est la fonction de masse de probabilité de . Il est à noter que les indices et sont souvent utilisés pour souligner qu'ils se rapportent à une variable aléatoire particulière , et à sa distribution . La série entière converge absolument au moins pour tous les nombres complexes avec ; le rayon de convergence étant souvent plus grand.$

Cas multivarié

Si $réseau d'entiers non négatifs$

Propriétés

Série Puissance

Les fonctions génératrices de probabilités obéissent à toutes les règles des séries entières à coefficients non négatifs. En particulier, , où , x tend vers 1 par valeurs inférieures , puisque la somme des probabilités doit être égale à un. Ainsi, le rayon de convergence de toute fonction génératrice de probabilités est nécessairement supérieur ou égal à 1, d'après le théorème d'Abel pour les séries entières à coefficients non négatifs.

Probabilités et attentes

Les propriétés suivantes permettent de déduire diverses quantités fondamentales liées à :

La fonction de masse de probabilité de est retrouvée en prenant les dérivées de ,
Il découle de la propriété 1 que si les variables aléatoires et ont des fonctions génératrices de probabilité égales, , alors . Autrement dit, si et ont des fonctions génératrices de probabilité identiques, alors elles ont des distributions identiques.
La normalisation de la fonction de masse de probabilité peut être exprimée en fonction de la fonction génératrice par : L' espérance de est donnée par : Plus généralement, le moment factoriel , de est donné par : Donc la variance de est donnée par : Enfin, le moment brut d'ordre k
$où X est une variable aléatoire, est la fonction génératrice de probabilité (de ) et est la fonction génératrice de moment (de ).$

Fonctions de variables aléatoires indépendantes

Les fonctions génératrices de probabilités sont particulièrement utiles pour traiter les fonctions de variables aléatoires indépendantes . Par exemple :

En particulier, si et sont des variables aléatoires indépendantes : et Dans ce qui précède, le nombre de variables aléatoires indépendantes de la séquence est fixé. Supposons que soit une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans l'ensemble des entiers non négatifs, indépendante des , et considérons la fonction génératrice des probabilités . Si les sont non seulement indépendantes mais aussi identiquement distribuées avec une fonction génératrice des probabilités commune , alors . Ceci se démontre, à l'aide de la loi de l'espérance totale, comme suit : Ce dernier résultat est utile dans l'étude des processus de Galton-Watson et des processus de Poisson composés . Lorsque les ne sont pas supposés identiquement distribués (mais toujours indépendants et indépendants de ), nous avons où Pour des s identiquement distribués, cela se simplifie à l'identité énoncée précédemment, mais le cas général est parfois utile pour obtenir une décomposition de au moyen de fonctions génératrices.

Exemples

La fonction génératrice des probabilités d'une variable aléatoire presque sûrement constante , c'est-à-dire une variable aléatoire telle que et , est
La fonction génératrice de probabilité d'une variable aléatoire binomiale , le nombre de succès dans les essais, avec une probabilité de succès à chaque essai, est Remarque : il s'agit du produit -fois de la fonction génératrice de probabilité d'une variable aléatoire de Bernoulli avec paramètre . $pièce équilibrée est donc :$
La fonction génératrice de probabilité d'une variable aléatoire binomiale négative sur , le nombre d'échecs jusqu'au succès avec une probabilité de succès à chaque essai , est qui converge pour . $variable aléatoire géométrique avec paramètre sur .$
La fonction génératrice des probabilités d'une variable aléatoire de Poisson de paramètre de taux est

Concepts connexes

La fonction génératrice des probabilités est un exemple de fonction génératrice d'une suite : voir aussi les séries formelles . Elle est équivalente à la transformée en z de la fonction de masse de probabilité, et on l'appelle parfois ainsi.

Parmi les autres fonctions génératrices de variables aléatoires, on trouve la fonction génératrice des moments , la fonction caractéristique et la fonction génératrice des cumulants . La fonction génératrice des probabilités est également équivalente à la fonction génératrice des moments factoriels , qui peut aussi être considérée pour les variables continues et d'autres types de variables aléatoires.

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