Worldlex Wiki Un octogone régulier a pour symbole de Schläfli {8} et peut également être construit comme un carré tronqué quasi régulier , t{4}, qui alterne deux types d'arêtes. Un octogone tronqué, t{8}, est un hexadécagone , {16}. Un analogue 3D de l'octogone peut être le rhombicuboctaèdre dont les faces triangulaires remplacent les arêtes, si l'on considère l'octogone comme un carré tronqué.
En géométrie plane , la somme des angles internes d'un octogone est de 1080°. Comme pour tous les polygones, la somme des angles externes est de 360°.
Si l'on construit des carrés soit entièrement à l'intérieur, soit entièrement à l'extérieur, sur les côtés d'un octogone, alors les milieux des segments reliant les centres des carrés opposés forment un quadrilatère à la fois équidiagonal et orthodiagonal (c'est-à-dire dont les diagonales sont de même longueur et perpendiculaires entre elles).
L' octogone médian d'un octogone de référence a ses huit sommets situés aux milieux des côtés de cet octogone. Si l'on construit des carrés soit entièrement à l'intérieur, soit entièrement à l'extérieur des côtés de l'octogone médian, alors les milieux des segments reliant les centres des carrés opposés forment les sommets d'un carré.
Régularité
Un octogone régulier est un solide fermé dont les côtés sont de même longueur et les angles internes de même mesure. Il possède huit axes de symétrie axiale et une symétrie de rotation d'ordre 8. Un octogone régulier est représenté par le symbole de Schläfli {8}. L' angle interne à chaque sommet d'un octogone régulier mesure 135 ° radians . L' angle au centre mesure 45° radians.
Zone
L'aire d'un octogone régulier de côté a est donnée par
En termes de rayon circonscrit R , l'aire est
En fonction de l' apothème r (voir aussi la figure inscrite ), l'aire est
Ces deux derniers coefficients encadrent la valeur de pi , l'aire du cercle unité .
La zone peut également être exprimée comme
où S représente l'envergure de l'octogone, soit la deuxième plus courte diagonale ; et a la longueur d'un de ses côtés, ou bases. On le démontre aisément en prenant un octogone, en traçant un carré autour (en veillant à ce que quatre de ses huit côtés coïncident avec les quatre côtés du carré), puis en plaçant les triangles formés aux sommets (triangles 45-45-90 ) de manière à ce que leurs angles droits soient tournés vers l'intérieur, formant ainsi un carré. Les côtés de ce carré ont chacun la longueur de la base.
Étant donné la longueur d'un côté a , la portée S est
L'envergure est alors égale au rapport argent multiplié par le côté, a.
La zone est alors comme ci-dessus :
Exprimée en fonction de l'envergure, l'aire est
Une autre formule simple pour l'aire est
Le plus souvent, la portée S est connue et il faut déterminer la longueur des côtés, a , comme lorsqu'on découpe un carré de matériau en un octogone régulier. D'après ce qui précède,
Les deux longueurs d'extrémité e de chaque côté (les longueurs des côtés des triangles (verts sur l'image) tronqués du carré), ainsi que la valeur de peuvent être calculées comme
rayon circonférentiel et rayon intérieur
Le rayon du cercle circonscrit de l'octogone régulier en fonction de la longueur du côté a est
et le rayon du cercle inscrit est
(c'est la moitié du rapport argent multiplié par le côté, a , ou la moitié de l'envergure, S )
Le rayon inscrit peut être calculé à partir du rayon circonscrit comme suit :
Diagonalité
The regular octagon, in terms of the side length a, has three different types of diagonals:
- Short diagonal;
- Medium diagonal (also called span or height), which is twice the length of the inradius;
- Long diagonal, which is twice the length of the circumradius.
The formula for each of them follows from the basic principles of geometry. Here are the formulas for their length:
- Short diagonal:
- Medium diagonal:
- Long diagonal:
Construction
The regular octagon can be constructed with meccano bars. Twelve bars of size 4, three bars of size 5 and two bars of size 6 are required.
Polytopes apparentés
L' octogone , en tant que carré tronqué , est le premier d'une séquence d' hypercubes tronqués :
En tant que carré agrandi , il est également le premier d'une séquence d'hypercubes agrandis :
  |   |   |   |   |   | ... | ||||||
| Octogone | Rhombicuboctaèdre | tesseract runciné | 5 cubes stérilisés | pentellisé à 6 cubes | Hexiqué 7 cubes |   |   | | | | | |