Involuté

Deux développantes (rouge) d'une parabole

En mathématiques , une développante (également appelée évolutive ) est un type particulier de courbe qui dépend d'une autre forme ou courbe. Une développante d'une courbe est le lieu d'un point sur un morceau de corde tendue lorsque la corde est déroulée ou enroulée autour de la courbe.

La développante d'une développante est la courbe originelle.

Elle est généralisée par la famille des courbes à roulettes . C'est-à-dire que les développantes d'une courbe sont les roulettes de la courbe engendrée par une droite.

Les notions de développante et développée d'une courbe ont été introduites par Christiaan Huygens dans son ouvrage intitulé Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae (1673), où il a montré que la développante d'une cycloïde est toujours une cycloïde, fournissant ainsi une méthode de construction du pendule cycloïdal , qui a la propriété utile que sa période est indépendante de l'amplitude de l'oscillation.

Développante d'une courbe paramétrée

Soit une courbe régulière dans le plan dont la courbure n'est nulle part égale à 0 et , alors la courbe avec la représentation paramétrique ${\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}] <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\dans [t_{1},t_{2}]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a\in (t_{1},t_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> <mo>∈</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>w</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}</annotation> </semantics> </math><img src=$

est une développante de la courbe donnée.

L'ajout d'un nombre arbitraire mais fixe à l'intégrale donne une développante correspondant à une corde prolongée par (comme une pelote de laine dont une certaine longueur de fil pend déjà avant d'être déroulée). Par conséquent, la développante peut être modifiée par une constante et/ou par l'ajout d'un nombre à l'intégrale (voir Développantes d'une parabole semi-cubique). ${\displaystyle l_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle l_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>w</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>w</mi> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle l_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle l_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si l'on obtient ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>w</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>w</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>w</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>w</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>w</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>w</mi> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Propriétés des développantes

Pour déduire les propriétés d'une courbe régulière, il est avantageux de supposer que la longueur de l'arc est le paramètre de la courbe donnée, ce qui conduit aux simplifications suivantes : et , avec la courbure et la normale unitaire. On obtient pour la développante : ${\displaystyle s <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\; <semantics> <mrow> <mstyle> <mspace></mspace> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\; <semantics> <mrow> <mstyle> <mspace></mspace> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>″</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>κ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \kappa <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>κ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \kappa }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\; <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>″</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>κ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et la déclaration :

À ce moment-là, la développante n'est pas régulière (car ), ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msubsup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

et de ce qui suit : ${\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\; <semantics> <mrow> <mstyle> <mspace></mspace> <msubsup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La normale de la développante au point est la tangente de la courbe donnée au point . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {c}}(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Les développantes sont des courbes parallèles , du fait que c'est la normale à l'unité . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}'(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>C</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La famille des développantes et la famille des tangentes à la courbe d'origine constituent un système de coordonnées orthogonales . Par conséquent, on peut construire graphiquement des développantes. On commence par dessiner la famille des tangentes. On peut ensuite construire une développante en restant toujours orthogonale à la tangente passant par le point.

Cuspides

Cette section est basée sur.

Il existe deux types de cuspides dans les développantes. Le premier type se situe au point où la développante touche la courbe elle-même. Il s'agit d'une cuspide d'ordre 3/2. Le deuxième type se situe au point où la courbe a un point d'inflexion. Il s'agit d'une cuspide d'ordre 5/2.

Cela peut être observé visuellement en construisant une carte définie par où est la paramétrisation de la longueur d'arc de la courbe, et est l'angle de pente de la courbe au point . Cela transforme le plan 2D en une surface dans l'espace 3D. Par exemple, cela transforme le cercle en hyperboloïde d'une feuille . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2} o \mathbb {R} ^{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>→</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2} o \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos( heta ),y(s)+t\sin( heta ),t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>↦</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos( heta ),y(s)+t\sin( heta ),t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (x(s),y(s)) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (x(s),y(s))}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (x(s),y(s)) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (x(s),y(s))}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Par cette carte, les développantes sont obtenues en trois étapes : cartographier vers , puis vers la surface en , puis la projeter vers le bas jusqu'à en supprimant l'axe z : où est une constante réelle. ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> <mo>↦</mo> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>↦</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>↦</mo> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <msub> <mo>)</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <msub> <mo>)</mo> <mrow> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle l <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle l}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Étant donné que la cartographie a une dérivée non nulle , les pointes de la développante ne peuvent se produire que lorsque la dérivée de est verticale (parallèle à l'axe z), ce qui ne peut se produire que lorsque la surface de a un plan tangent vertical. ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> <mo>↦</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> <mo>↦</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De manière générale, la surface a des plans tangents verticaux dans seulement deux cas : lorsque la surface touche la courbe et lorsque la courbe a un point d'inflexion.

cuspide de l'ordre 3/2

Pour le premier type, on peut commencer par la développante d'un cercle, d'équation alors posée , et développer pour les petits , pour obtenir donnant ainsi la courbe d'ordre 3/2 , une parabole semi-cubique . ${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>8</mn> <mrow> <mn>9</mn> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow> <mn>8</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

cuspide de l'ordre 5/2

Pour le deuxième type, considérons la courbe . L'arc de à est de longueur , et la tangente à a un angle . Ainsi, la développante partant de à une distance a pour formule paramétrique . Développons-la jusqu'à l'ordre , nous obtenons qui est une pointe d'ordre 5/2. Explicitement, on peut résoudre le développement polynomial satisfait par : ou qui montre clairement la forme de la pointe. ${\displaystyle y=x^{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y=x^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=s <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=s}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>8</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>13</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=s <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=s}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta =\arctan(3s^{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta =\arctan(3s^{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle L <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos heta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin heta \end{cases <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos heta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin heta \end{cases}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s^{5 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s^{5}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>L</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mi>L</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x,y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x,y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}} ight)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}} ight)^{2}\left({\frac {y}{3L}} ight)^{5}+O(s^{11})=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>51</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>y</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>11</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}} ight)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}} ight)^{2}\left({\frac {y}{3L}} ight)^{5}+O(s^{11})=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}} ight)\left({\frac {y}{3L}} ight)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>±</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>51</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>y</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2.5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2.75</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mi>y</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}} ight)\left({\frac {y}{3L}} ight)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En posant , on obtient la développante passant par l'origine. Elle est particulière car elle ne contient pas de rebroussement. Par développement sériel, elle a pour équation paramétrique ou ${\displaystyle L=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle L=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>18</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>126</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>13</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>54</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>318</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>11</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow> <mn>15</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>18</mn> <mrow> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>5</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemples

Développantes d'un cercle

Pour un cercle à représentation paramétrique , on a . Par conséquent , et la longueur du chemin est . ${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t)) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle r(t-a) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r(t-a)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En évaluant l'équation de la développante donnée ci-dessus, on obtient

{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour l' équation paramétrique de la développante du cercle.

Le terme est facultatif ; il sert à définir l'emplacement de départ de la courbe sur le cercle. La figure montre les développantes pour (vert), (rouge), (violet) et (bleu clair). Les développantes ressemblent à des spirales d'Archimède , mais elles n'en sont pas réellement. ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a=-0.5 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>0.5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a=-0.5}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a=0.5 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0.5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a=0.5}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La longueur de l'arc pour et de la développante est ${\displaystyle a=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>t</mi> <mo>≤</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Développantes d'une parabole semi-cubique

L' équation paramétrique décrit une parabole semi-cubique . De là , on obtient et . L'extension de la chaîne par simplifie considérablement les calculs ultérieurs, et on obtient ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({ frac {t^{3}}{3}},{ frac {t^{2}}{2}}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}(t)=({ frac {t^{3}}{3}},{ frac {t^{2}}{2}})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mrow> <msqrt> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mi>w</mi> <mrow> <msqrt> <msup> <mi>w</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <msqrt> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle l_{0}={1 \over 3 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En éliminant t, on montre que cette développante est une parabole . ${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les autres développantes sont donc des courbes parallèles à une parabole, et ne sont pas des paraboles, car ce sont des courbes de degré six (Voir Courbe parallèle § Autres exemples ).

La développante rouge d'une chaînette (bleue) est une tractrice.

Développantes d'une chaînette

Pour la chaînette , le vecteur tangent est , et, comme sa longueur est . Ainsi, la longueur de l'arc à partir du point (0, 1) est ${\displaystyle (t,\cosh t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (t,\cosh t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t, <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>sinh</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>cosh</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle extstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t. <semantics> <mrow> <mstyle> <mstyle> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>w</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle extstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Par conséquent, la développante partant de (0, 1) est paramétrée par

{\displaystyle (t- anh t,1/\cosh t), <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>tanh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (t- anh t,1/\cosh t),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et est donc une tractrice .

Les autres développantes ne sont pas des tractrices, car ce sont des courbes parallèles d'une tractrice.

Développantes d'une cycloïde

Involutes d'une cycloïde (bleu) : Seule la courbe rouge est une autre cycloïde

La représentation paramétrique décrit une cycloïde . De , on obtient (après avoir utilisé quelques formules trigonométriques) ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mfrac> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mn>2</mn> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mfrac> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mfrac> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Par conséquent, les équations de la développante correspondante sont

{\displaystyle X(t)=t+\sin t, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X(t)=t+\sin t,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle Y(t)=3+\cos t, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

qui décrivent la cycloïde rouge décalée du diagramme.

Les développantes de la cycloïde sont des courbes parallèles de la cycloïde ${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t). <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

(Les courbes parallèles d'une cycloïde ne sont pas des cycloïdes.)

Involute et évolute

La développée d'une courbe donnée est constituée des centres de courbure de . Entre les développantes et les développées, l'énoncé suivant est valable : ${\displaystyle c_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une courbe est la développée de l'une de ses développantes.

Involute et évolute

Tractrix (rouge) en développante d'une chaînette
L'évolute d'une tractrice est une chaînette

Application

Les profils les plus courants des dents d'engrenages modernes sont des développantes de cercle. Dans un système d'engrenages développantes , les dents de deux engrenages en prise entrent en contact en un seul point instantané qui suit une seule ligne d'action droite. Les forces que les dents en contact exercent l'une sur l'autre suivent également cette ligne et sont normales aux dents. Le système d'engrenages développantes qui maintient ces conditions suit la loi fondamentale de l'engrenage : le rapport des vitesses angulaires entre les deux engrenages doit rester constant tout au long du processus.

Avec des dents d'autres formes, les vitesses et les forces relatives augmentent et diminuent à mesure que les dents successives s'engagent, ce qui entraîne des vibrations, du bruit et une usure excessive. Pour cette raison, presque tous les systèmes d'engrenages plans modernes sont soit à développante, soit le système d'engrenages cycloïdaux associé.

La développante d'un cercle est également une forme importante dans la compression des gaz , car un compresseur à spirale peut être construit sur la base de cette forme. Les compresseurs à spirale font moins de bruit que les compresseurs conventionnels et se sont avérés assez efficaces .

Le réacteur isotopique à haut flux utilise des éléments combustibles de forme involutée, car ceux-ci permettent un canal de largeur constante entre eux pour le liquide de refroidissement.