Problème de valeur initiale

calcul différentiel et intégral , un problème de Cauchy problème Cauchy ) est une équation différentielle ordinaire munie d'une condition initiale qui détermine la valeur de la fonction inconnue en un point donné de son domaine de définition . La modélisation d'un système en physique ou dans d'autres sciences revient souvent à résoudre un problème de Cauchy. Dans ce contexte, le problème de Cauchy est une équation différentielle qui décrit l' évolution du système au cours du temps, en plus des conditions initiales du problème.

avec où est un ensemble ouvert de ,

ainsi qu'un point dans le domaine de appelée condition initiale . Une solution à un problème de valeur initiale est une fonction qui est solution de l'équation différentielle et qui satisfait En dimensions supérieures, l'équation différentielle est remplacée par une famille d'équations et est considérée comme le vecteur , généralement associé à la position dans l'espace. Plus généralement, la fonction inconnue peut prendre des valeurs sur des espaces de dimension infinie, tels que les espaces de Banach ou les espaces de distributions . Les problèmes de valeurs initiales sont étendus aux ordres supérieurs en traitant les dérivées comme une fonction indépendante, par exemple . Pour cette équation différentielle du second ordre, deux conditions initiales sont nécessaires, par exemple les valeurs numériques de et .

Existence et unicité des solutions

Le théorème de Picard-Lindelöf garantit l'existence d'une solution unique sur un intervalle contenant t = ₀ si f est continue sur un domaine contenant t = ₀ et y = ₀ et satisfait la condition de Lipschitz sur la variable y . La démonstration de ce théorème consiste à reformuler le problème sous la forme d'une équation intégrale équivalente . L'intégrale peut être vue comme un opérateur qui transforme une fonction en une autre, la solution étant un point fixe de cet opérateur. Le théorème du point fixe de Banach est alors utilisé pour montrer l'existence d'un point fixe unique, qui est la solution du problème de Cauchy.

Une ancienne démonstration du théorème de Picard-Lindelöf construit une suite de fonctions qui convergent vers la solution de l'équation intégrale, et donc vers la solution du problème de Cauchy. Cette construction est parfois appelée « méthode de Picard » ou « méthode des approximations successives ». Cette version est essentiellement un cas particulier du théorème du point fixe de Banach.

Hiroshi Okamura a établi une condition nécessaire et suffisante pour que la solution d'un problème de Cauchy soit unique. Cette condition est liée à l'existence d'une fonction de Lyapunov pour le système.

Dans certains cas, la fonction f n'est pas de classe C¹ ni même lipschitzienne ; le résultat usuel garantissant l'existence locale d'une solution unique ne s'applique donc pas. Le théorème d'existence de Peano démontre cependant que ^, même pour une fonction f simplement continue, l'existence locale de solutions est garantie en temps ; le problème réside dans l'absence de garantie d'unicité. Ce résultat se trouve dans Coddington et Levinson (1955, théorème 1.3) ou Robinson (2001, théorème 2.6). Un résultat encore plus général est le théorème d'existence de Carathéodory , qui démontre l'existence de solutions pour certaines fonctions f discontinues .

Exemples

Un exemple simple consiste à résoudre et . Nous cherchons une formule pour qui satisfasse ces deux équations.

Réorganisez l'équation de sorte que ce soit à gauche.

Intégrez maintenant les deux côtés par rapport à (cela introduit une constante inconnue ).

Éliminez le logarithme en exponentiant les deux côtés

Soit une nouvelle constante inconnue, , donc

Il nous faut maintenant trouver une valeur pour . Utilisez la valeur donnée au début et remplacez par 0 et par 19.

cela donne la solution finale de .

Deuxième exemple

La solution de

peut être trouvé

En effet,

et , donc la fonction donnée satisfait l'équation différentielle ordinaire et la condition initiale.

Troisième exemple

La solution de

En appliquant les conditions initiales, on obtient , d'où la solution :

$.$

Cependant, la fonction suivante est également une solution du problème de valeur initiale :

La fonction est dérivable partout et continue, tout en satisfaisant l'équation différentielle ainsi que le problème de Cauchy. Il s'agit donc d'un exemple de problème admettant une infinité de solutions.