Objet exponentiel

En mathématiques , et plus précisément en théorie des catégories , un objet exponentiel (ou objet applicatif) est la généralisation catégorique d'un espace fonctionnel de la théorie des ensembles . Les catégories qui admettent tous les produits finis et les objets exponentiels sont appelées catégories cartésiennes fermées . Les catégories (telles que les sous-catégories de Top ) sans produits adjoints peuvent néanmoins posséder une loi exponentielle .

Cette attribution d'un unique à chacun établit un isomorphisme ( bijection ) des ensembles hom ,

Si existe pour tous les objets de , alors le foncteur défini sur les objets par et sur les flèches par , est un adjoint à droite du foncteur produit . C’est pourquoi les morphismes et sont parfois appelés adjoints exponentiels l’un de l’autre.

Définition équationnelle

L'objet exponentiel peut également être défini par des équations :

• L'existence de est garantie par l'existence de l'opération .
• La commutativité des diagrammes ci-dessus est garantie par l'égalité .
• L'unicité est garantie par l'égalité .

Propriété universelle

L'exponentielle est donnée par un morphisme universel du foncteur produit vers l'objet . Ce morphisme universel est constitué d'un objet et d'un morphisme .

Dans la catégorie des ensembles , un objet exponentiel est l'ensemble de toutes les fonctions . L'application est simplement l' application d'évaluation , qui envoie la paire à . Pour toute application , l'application est la forme curryfiée de :

Une algèbre de Heyting est simplement un treillis borné contenant tous les objets exponentiels. L'implication de Heyting, , est une notation alternative pour . Les résultats d'adjonction ci-dessus se traduisent par l'implication ( ) adjointe à droite de rencontre ( ). Cette adjonction peut s'écrire , ou plus complètement :

Dans la catégorie des espaces topologiques , l'objet exponentiel existe si l'espace est localement compact et de Hausdorff . Dans ce cas, l'espace est l'ensemble des fonctions continues de dans , muni de la topologie compacte-ouverte . L'application d'évaluation est la même que dans la catégorie des ensembles ; elle est continue avec la topologie ci-dessus. Si l'espace n'est pas localement compact et de Hausdorff, l'objet exponentiel peut ne pas exister (l'espace existe toujours, mais il peut ne pas être un objet exponentiel puisque la fonction d'évaluation n'est pas nécessairement continue). C'est pourquoi la catégorie des espaces topologiques n'est pas cartésiennement fermée . Cependant, la catégorie des espaces topologiques localement compacts n'est pas cartésiennement fermée non plus, puisque n'est pas nécessairement localement compact pour des espaces localement compacts et . Une catégorie d'espaces cartésiennement fermée est, par exemple, donnée par la sous-catégorie pleine engendrée par les espaces de Hausdorff engendrés de manière compacte .

Dans les langages de programmation fonctionnelle , le morphisme est souvent appelé ` if`, et sa syntaxe est souvent écrite ` if`. Il ne faut pas confondre ce morphisme avec la fonction `equals` de certains langages de programmation , qui évalue les expressions entre guillemets.eval