Worldlex Wiki En mathématiques , la géométrie énumérative est la branche de la géométrie algébrique qui s'intéresse au comptage du nombre de solutions à des questions géométriques, principalement au moyen de la théorie des intersections .
Histoire
Le problème d'Apollonius est l'un des premiers exemples de géométrie énumérative. Ce problème demande le nombre et la construction de cercles tangents à trois cercles, points ou lignes donnés. En général, le problème pour trois cercles donnés a huit solutions, qui peuvent être vues comme 2 3 , chaque condition de tangence imposant une condition quadratique sur l'espace des cercles. Cependant, pour des arrangements particuliers des cercles donnés, le nombre de solutions peut également être n'importe quel entier compris entre 0 (aucune solution) et six ; il n'existe aucun arrangement pour lequel il existe sept solutions au problème d'Apollonius.
Outils clés
Un certain nombre d'outils, allant des plus élémentaires aux plus avancés, incluent :
- Comptage des dimensions
- Théorème de Bézout
- Calcul de Schubert , et plus généralement classes caractéristiques en cohomologie
- Le lien entre le comptage des intersections et la cohomologie est la dualité de Poincaré
- L'étude des espaces de modules de courbes, d'applications et d'autres objets géométriques, parfois via la théorie de la cohomologie quantique . L'étude de la cohomologie quantique , des invariants de Gromov–Witten et de la symétrie miroir a permis un progrès significatif dans la conjecture de Clemens .
La géométrie énumérative est très étroitement liée à la théorie des intersections .
Calcul de Schubert
La géométrie énumérative a connu un développement spectaculaire vers la fin du XIXe siècle, grâce à Hermann Schubert . Il l'a introduite dans le cadre du calcul de Schubert , qui s'est avéré d'une valeur géométrique et topologique fondamentale dans des domaines plus vastes. Les besoins spécifiques de la géométrie énumérative n'ont pas été abordés avant qu'une attention plus poussée ne leur soit accordée dans les années 1960 et 1970 (comme l'a souligné par exemple Steven Kleiman ). Les nombres d'intersection avaient été rigoureusement définis (par André Weil dans le cadre de son programme fondateur de 1942 à 1946, et à nouveau par la suite), mais cela n'épuisait pas le domaine propre des questions énumératives.
Facteurs de fudge et quinzième problème de Hilbert
L'application naïve du comptage des dimensions et du théorème de Bézout donne des résultats erronés, comme le montre l'exemple suivant. En réponse à ces problèmes, les géomètres algébriques ont introduit des « facteurs de flou » vagues, qui n'ont été rigoureusement justifiés que des décennies plus tard.
A titre d'exemple, comptons les sections coniques tangentes à cinq droites données dans le plan projectif . Les coniques constituent un espace projectif de dimension 5, en prenant leurs six coefficients comme coordonnées homogènes , et cinq points déterminent une conique , si les points sont en position linéaire générale , car le passage par un point donné impose une condition linéaire. De même, la tangence à une droite donnée L (la tangence est l'intersection avec la multiplicité deux) est une condition quadratique, donc déterminée une quadrique dans P 5 . Cependant, le système linéaire de diviseurs constitué de toutes ces quadriques n'est pas dépourvu de lieu de base . En fait, chaque quadrique de ce type contient la surface de Véronèse , qui paramètre les coniques
- ( aX + bY + cZ ) 2 = 0
appelées « lignes doubles ». En effet, une ligne double coupe toutes les lignes du plan, puisque les lignes du plan projectif se coupent, avec une multiplicité de deux parce qu'elle est doublée, et satisfait donc la même condition d'intersection (intersection de multiplicité de deux) qu'une conique non dégénérée qui est tangente à la ligne.
Le théorème général de Bézout dit que 5 quadriques générales dans l'espace 5-se couperont en 32 = 2 5 points. Mais les quadriques concernées ici ne sont pas en position générale . De 32, il faut soustraire 31 et l'attribuer à la Véronèse, pour laisser la bonne réponse (du point de vue de la géométrie), à savoir 1. Ce processus d'attribution d'intersections à des cas « dégénérés » est une introduction géométrique typique d'un « facteur de fudge ».
Le quinzième problème de Hilbert était de surmonter le caractère apparemment arbitraire de ces interventions ; cet aspect va au-delà de la question fondatrice du calcul de Schubert lui-même.
Conjecture de Clément
En 1984, H. Clemens a étudié le comptage du nombre de courbes rationnelles sur un triple quintique et est parvenu à la conjecture suivante.
- Soit un quintique triple général, entier positif, alors il n'existe qu'un nombre fini de courbes rationnelles de degré sur .
Cette conjecture a été résolue dans le cas , mais reste ouverte pour des cas plus élevés .
En 1991, l'article sur la symétrie miroir sur la quintique triple du point de vue de la théorie des cordes donne des nombres de courbes rationnelles de degré d sur pour tout . Avant cela, les géomètres algébriques ne pouvaient calculer ces nombres que pour .
Exemples
Voici quelques exemples historiquement importants d’énumérations en géométrie algébrique :
- 2 Le nombre de lignes rencontrant 4 lignes générales dans l'espace
- 8 Le nombre de cercles tangents à 3 cercles généraux (le problème d'Apollonius ).
- 27 Le nombre de lignes sur une surface cubique lisse ( Salmon et Cayley )
- 2875 Le nombre de lignes sur un triple quintique général
- 3264 Le nombre de coniques tangentes à 5 coniques planes en position générale ( Chasles )
- 609250 Le nombre de coniques sur un triple quintique général
- 4407296 Le nombre de coniques tangentes à 8 surfaces quadriques générales Fulton (1984, p. 193)
- 666841088 Le nombre de surfaces quadriques tangentes à 9 surfaces quadriques données en position générale dans l'espace 3 (Schubert 1879, p.106) (Fulton 1984, p. 193)
- 5819539783680 Le nombre de courbes cubiques torsadées tangentes à 12 surfaces quadriques données en position générale dans l'espace 3 (Schubert 1879, p.184) (S. Kleiman, SA Strømme & S. Xambó 1987)