Processus de diffusion

théorie des probabilités et en statistique , les processus de diffusion sont une classe de processus de Markov à temps continu dont les trajectoires sont presque sûrement continues . De nature stochastique , ils servent à modéliser de nombreux systèmes stochastiques réels. Le mouvement brownien , le mouvement brownien réfléchi et les processus d'Ornstein-Uhlenbeck en sont des exemples. Ils sont largement utilisés en physique statistique , en analyse statistique , en théorie de l'information , en science des données , en réseaux de neurones , en finance et en marketing .

Un exemple de trajectoire de diffusion modélise le parcours d'une particule immergée dans un fluide en mouvement et soumise à des déplacements aléatoires dus aux collisions avec d'autres particules ; ce phénomène est appelé mouvement brownien . La position de la particule est alors aléatoire ; sa fonction de densité de probabilité en fonction de l'espace et du temps est décrite par une équation de convection-diffusion .

processus de Markov avec des trajectoires d'échantillon continues pour lesquelles l' équation directe de Kolmogorov est l' équation de Fokker-Planck .

Un processus de diffusion est défini par les propriétés suivantes. Soient des coefficients uniformément continus et des termes de dérive bornés et mesurables au sens de Borel. Il existe une unique famille de mesures de probabilité (pour , ) sur l'espace canonique , muni de sa -algèbre de Borel , telles que :

1. (Condition initiale) Le processus démarre à l'instant :

2. (Propriété martingale locale) Pour chaque , le processus

$est une martingale locale sous pour , avec pour .$

Cette famille est appelée la -diffusion.

Construction de l'EDS et générateur infinitésimal

Il est clair que si l'on a une diffusion Γ, c'est-à-dire sur Γ , alors Γ satisfait l'EDS Γ . En revanche, on peut construire cette diffusion à partir de cette EDS si Γ et Γ sont lipschitziennes. Pour le voir, considérons la solution de l'EDS partant de Γ . Pour Γ = 0 , appliquons la formule d'Itô : Γ = Γ. En réarrangeant Γ, on obtient Γ = Γ, dont le second membre est une martingale locale, ce qui correspond à la propriété de martingale locale dans la définition de la diffusion. La loi de Γ définit Γ sur Γ avec la condition initiale correcte et la propriété de martingale locale. L'unicité découle de la continuité lipschitzienne de Γ . En fait, Γ coïncide avec le générateur infinitésimal de ce processus. Si Γ est solution de l'EDS, alors pour Γ = 0 , le générateur est Γ = Γ.