Optimisation de la conception

L'optimisation de la conception est une méthodologie de conception technique qui utilise une formulation mathématique d'un problème de conception pour soutenir la sélection de la conception optimale parmi de nombreuses alternatives. L'optimisation de la conception comprend les étapes suivantes :

Variables : Décrivez les alternatives de conception
Objectif : Combinaison fonctionnelle élue de variables (à maximiser ou minimiser)
Contraintes : Combinaison de variables exprimées sous forme d'égalités ou d'inégalités qui doivent être satisfaites pour toute alternative de conception acceptable
Faisabilité : Valeurs pour un ensemble de variables qui satisfont toutes les contraintes et minimisent/maximisent l'objectif.

Problème d'optimisation de conception

L'énoncé mathématique formel ( forme standard ) du problème d'optimisation de la conception est

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\operatorname {minimize} }&&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&h_{i}(x)=0,\quad i=1,\dots ,m_{1}\\&&&g_{j}(x)\leq 0,\quad j=1,\dots ,m_{2}\\&\operatorname {and} &&x\in X\subseteq R^{n}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mi>minimiser</mi> </mrow> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mi>toi</mi> <mi>b</mi> <mi>j</mi> <mi>et</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mspace></mspace> <mi>t</mi> <mi>ou</mi> </mrow> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>je</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd></mtd> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>≤</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>et</mi> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>⊆</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&{\operatorname {minimize} }&&f(x)\\&\operatorname {sous réserve\;de} &&h_{i}(x)=0,\quad i=1,\dots ,m_{1}\\&&&g_{j}(x)\leq 0,\quad j=1,\dots ,m_{2}\\&\operatorname {et} &&x\in X\subseteq R^{n}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où

${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ n variables de conception à valeurs réelles ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle f(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ fonction objective
${\displaystyle h_{i}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h_{i}(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ des contraintes d'égalité ${\displaystyle m_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle g_{j}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g_{j}(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ des contraintes d'inégalité ${\displaystyle m_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La formulation du problème énoncée ci-dessus est une convention appelée forme négative nulle , puisque toutes les fonctions de contrainte sont exprimées sous forme d'égalités et d'inégalités négatives avec zéro sur le côté droit. Cette convention est utilisée pour que les algorithmes numériques développés pour résoudre les problèmes d'optimisation de conception puissent supposer une expression standard du problème mathématique.

Nous pouvons introduire les fonctions à valeurs vectorielles

${\displaystyle {\begin{aligned}&&&{h=(h_{1},h_{2},\dots ,h_{m1})}\\\operatorname {and} \\&&&{g=(g_{1},g_{2},\dots ,g_{m2})}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd></mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>et</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd></mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&&&{h=(h_{1},h_{2},\dots ,h_{m1})}\\\operatorname {et} \\&&&{g=(g_{1},g_{2},\dots ,g_{m2})}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

pour réécrire l'énoncé ci-dessus dans l'expression compacte

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\operatorname {minimize} }&&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&h(x)=0,\quad g(x)\leq 0,\quad x\in X\subseteq R^{n}\\\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mi>minimiser</mi> </mrow> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mi>toi</mi> <mi>b</mi> <mi>j</mi> <mi>et</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mspace></mspace> <mi>t</mi> <mi>ou</mi> </mrow> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>≤</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>⊆</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&{\operatorname {minimize} }&&f(x)\\&\operatorname {sujet\;à} &&h(x)=0,\quad g(x)\leq 0,\quad x\in X\subseteq R^{n}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Nous appelons l' ensemble ou le système de contraintes ( fonctionnelles ) et la contrainte d'ensemble . ${\displaystyle h,g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h,g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Application

L'optimisation de la conception applique les méthodes d' optimisation mathématique aux formulations de problèmes de conception et est parfois utilisée de manière interchangeable avec le terme optimisation technique . Lorsque la fonction objective f est un vecteur plutôt qu'un scalaire , le problème devient un problème d' optimisation multi-objectifs . Si le problème d'optimisation de la conception a plusieurs solutions mathématiques, les méthodes d' optimisation globale sont utilisées pour identifier l'optimum global.

Liste de contrôle d'optimisation

Identification du problème
Énoncé du problème initial
Modèles d'analyse
Modèle de conception optimale
Transformation du modèle
Techniques itératives locales
Vérification globale
Examen final

Une description détaillée et rigoureuse des étapes et des applications pratiques avec des exemples peut être trouvée dans le livre Principes de conception optimale.

Les problèmes pratiques d'optimisation de la conception sont généralement résolus numériquement et de nombreux logiciels d'optimisation existent sous des formes académiques et commerciales. Il existe plusieurs applications spécifiques à un domaine de l'optimisation de la conception qui posent leurs propres défis spécifiques dans la formulation et la résolution des problèmes qui en résultent ; il s'agit notamment de l'optimisation de la forme , de l' optimisation de la forme des ailes , de l'optimisation de la topologie , de l'optimisation de la conception architecturale et de l'optimisation de la puissance . Plusieurs livres, articles et publications de revues sont répertoriés ci-dessous à titre de référence.

L'optimisation de la conception est une application moderne de l'optimisation de la conception dans le secteur du bâtiment et de la construction. L'optimisation de la conception structurelle (SDO) met l'accent sur l'automatisation et l'optimisation des conceptions et des dimensions structurelles pour satisfaire à une variété d'objectifs de performance. Ces avancées visent à optimiser la configuration et les dimensions des structures pour optimiser l'augmentation de la résistance, minimiser l'utilisation des matériaux, réduire les coûts, améliorer l'efficacité énergétique, améliorer la durabilité et optimiser plusieurs autres critères de performance. Parallèlement, l'automatisation de la conception structurelle s'efforce de rationaliser le processus de conception, d'atténuer les erreurs humaines et d'améliorer la productivité grâce à des outils informatiques et à des algorithmes d'optimisation. Les pratiques et technologies les plus importantes dans ce domaine comprennent la conception paramétrique, la conception générative, la technologie de modélisation des informations du bâtiment (BIM), l'apprentissage automatique (ML) et l'intelligence artificielle (IA), ainsi que l'intégration de l'analyse par éléments finis (FEA) avec des outils de simulation.

Journaux

Journal de l'ingénierie pour l'industrie
Journal de conception mécanique
Journal des mécanismes, des transmissions et de l'automatisation dans la conception
Sciences de la conception
Optimisation de l'ingénierie
Journal de conception technique
Conception assistée par ordinateur
Journal de la théorie de l'optimisation et de ses applications
Optimisation structurelle et multidisciplinaire
Journal de gestion de l'innovation produit
Revue internationale de recherche en marketing