Réseau complexe

Deux classes de réseaux complexes bien connues et largement étudiées sont les réseaux sans échelle et les réseaux à petit monde [ dont la découverte et la définition constituent des études de cas classiques dans le domaine. Ces deux classes sont caractérisées par des propriétés structurelles spécifiques : une distribution des degrés suivant une loi de puissance pour les premiers et des chemins courts et un fort regroupement pour les seconds. Cependant, l’étude des réseaux complexes ayant gagné en importance et en popularité, de nombreux autres aspects des structures de réseaux ont également suscité l’intérêt.

Ce domaine continue de se développer rapidement et rassemble des chercheurs issus de nombreux horizons, notamment les mathématiques , la physique , les systèmes d'énergie électrique , la biologie , le climat , l'informatique , la sociologie , l'épidémiologie et bien d'autres . Les concepts et les outils de la science et de l'ingénierie des réseaux ont été appliqués à l'analyse des réseaux de régulation métabolique et génétique ; à l'étude de la stabilité et de la robustesse des écosystèmes ; aux sciences cliniques à la modélisation et à la conception de réseaux de communication évolutifs, tels que la génération et la visualisation de réseaux sans fil complexes ; et à un large éventail d'autres problématiques pratiques. La science des réseaux est au cœur de nombreuses conférences dans divers domaines et a fait l'objet de nombreux ouvrages, tant destinés au grand public qu'aux spécialistes.

Un réseau est dit sans échelle si sa distribution des degrés, c'est-à-dire la probabilité qu'un nœud choisi uniformément au hasard possède un certain nombre de liens (degré), suit une fonction mathématique appelée loi de puissance . Cette loi de puissance implique que la distribution des degrés de ces réseaux ne présente pas d'échelle caractéristique. À l'inverse, les réseaux à échelle unique bien définie sont comparables à un treillis, chaque nœud ayant (approximativement) le même degré. Parmi les exemples de réseaux à échelle unique, on peut citer le graphe aléatoire d'Erdős-Rényi (ER) , les hypercubes . Le modèle de Barabási-Albert et le modèle de fitness sont des modèles de réseaux croissants produisant des distributions de degrés invariantes d'échelle . Dans un réseau à distribution de degrés sans échelle, certains sommets possèdent un degré plusieurs ordres de grandeur supérieur à la moyenne ; ces sommets sont souvent appelés « hubs », bien que cette terminologie soit trompeuse car, par définition, il n'existe pas de seuil intrinsèque au-delà duquel un nœud peut être considéré comme un hub. S'il existait un tel seuil, le réseau ne serait pas sans échelle.

L'intérêt pour les réseaux sans échelle a débuté à la fin des années 1990 avec la découverte de distributions de degrés suivant une loi de puissance dans des réseaux réels tels que le Web , le réseau des systèmes autonomes (SA), certains réseaux de routeurs Internet, les réseaux d'interaction protéique, les réseaux de messagerie électronique, etc. La plupart de ces « lois de puissance » rapportées ne résistent pas à des tests statistiques rigoureux, mais l'idée plus générale de distributions de degrés à queue lourde – que nombre de ces réseaux présentent effectivement (avant l'apparition d'effets de taille finie) – est très différente de ce à quoi on pourrait s'attendre si les arêtes existaient indépendamment et aléatoirement (c'est-à-dire si elles suivaient une distribution de Poisson ). Il existe de nombreuses manières de construire un réseau avec une distribution de degrés suivant une loi de puissance. Le processus de Yule est un processus génératif canonique pour les lois de puissance, connu depuis 1925. Cependant, il est désigné par de nombreux autres noms en raison de ses fréquentes réinventions, comme le principe de Gibrat ( Herbert A. Simon) , l' effet Matthieu , l'avantage cumulatif et l'attachement préférentiel ( Barabási et Albert) pour les distributions de degrés suivant une loi de puissance. Plus récemment, les graphes géométriques hyperboliques ont été proposés comme une autre méthode de construction de réseaux sans échelle.

Certains réseaux présentant une distribution des degrés suivant une loi de puissance (et d'autres types de structures spécifiques) peuvent être très résistants à la suppression aléatoire de sommets ; autrement dit, la grande majorité des sommets restent connectés au sein d'une composante géante. Ces réseaux peuvent également être très sensibles aux attaques ciblées visant à les fragmenter rapidement. Lorsque le graphe est uniformément aléatoire, à l'exception de la distribution des degrés, ces sommets critiques sont ceux qui possèdent le degré le plus élevé et ont ainsi été impliqués dans la propagation de maladies (naturelles et artificielles) au sein des réseaux sociaux et de communication, ainsi que dans la propagation de modes (ces deux phénomènes étant modélisés par un processus de percolation ou de branchement ). Alors que les graphes aléatoires (ER) présentent une distance moyenne de l'ordre de log N entre les nœuds, où N est le nombre de nœuds, les graphes sans échelle peuvent présenter une distance de l'ordre de log log N.

Dans la littérature scientifique sur les réseaux, le terme « petit monde » présente une certaine ambiguïté. Outre sa référence au diamètre du réseau, il peut également désigner la concomitance d'un petit diamètre et d'un coefficient de clustering élevé . Ce coefficient représente la densité des triangles dans le réseau. Par exemple, les graphes aléatoires clairsemés ont un coefficient de clustering extrêmement faible, tandis que les réseaux réels présentent souvent un coefficient nettement supérieur. Les scientifiques interprètent cette différence comme un indice de corrélation des arêtes dans les réseaux réels. Des méthodes ont été développées pour générer des modèles de réseaux présentant des corrélations élevées, tout en préservant la distribution des degrés souhaitée et les propriétés de petit monde. Ces méthodes peuvent être utilisées pour générer des modèles simplifiés, solubles analytiquement, pour l'étude de ces systèmes.

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