Vecteur euclidien

{ extstyle {\stackrel { ightarrow }{a </span referrerpolicy=

pointant du point A au point B

En mathématiques , en physique et en ingénierie , un vecteur euclidien , ou simplement un vecteur (parfois appelé vecteur géométrique ou vecteur spatial ), est un objet géométrique possédant une magnitude (ou longueur ) et une direction . Les vecteurs euclidiens peuvent être additionnés et mis à l'échelle pour former un espace vectoriel . Une grandeur vectorielle est une grandeur physique à valeurs vectorielles , incluant des unités de mesure et éventuellement un support , formulée comme un segment de droite orienté . Un vecteur est fréquemment représenté graphiquement par une flèche reliant un point initial A à un point final B , et noté par ${ extstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mrow><mi>UN</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mo>⟶</mo></mrow></mover></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Un vecteur est ce qui permet de « transporter » le point A au point B ; le mot latin signifie « porteur » . Il a été utilisé pour la première fois par les astronomes du XVIIIe siècle étudiant la révolution des planètes autour du Soleil La norme du vecteur correspond à la distance entre les deux points, et sa direction indique le sens du déplacement de A vers B. De nombreuses opérations algébriques sur les nombres réels, telles que l’addition , la soustraction , la multiplication et la négation, ont des analogues proches pour les vecteurs , opérations qui obéissent aux lois algébriques classiques de commutativité , d’associativité et de distributivité . Ces opérations et les lois associées font des vecteurs euclidiens un exemple du concept plus général de vecteurs, définis simplement comme éléments d’un espace vectoriel .

Les vecteurs jouent un rôle important en physique : la vitesse et l’accélération d’un objet en mouvement, ainsi que les forces qui s’exercent sur lui, peuvent toutes être décrites par des vecteurs. De nombreuses autres grandeurs physiques peuvent être utilement considérées comme des vecteurs. Bien que la plupart d’entre elles ne représentent pas des distances (à l’exception, par exemple, de la position ou du déplacement ), leur norme et leur direction peuvent néanmoins être représentées par la longueur et la direction d’une flèche. La représentation mathématique d’un vecteur physique dépend du système de coordonnées utilisé pour le décrire. D’autres objets mathématiques de type vectoriel qui décrivent des grandeurs physiques , tels que les pseudovecteurs et les tenseurs , se transforment de manière similaire lors des changements de système de coordonnées.

Histoire

Le concept de vecteur, tel qu'on le connaît aujourd'hui, est le fruit d'un développement progressif sur plus de deux siècles. Une douzaine de personnes environ ont contribué de manière significative à son élaboration. En 1835, Giusto Bellavitis en a abstrait l'idée fondamentale en établissant le concept d' équipollence . Travaillant dans un plan euclidien, il a rendu équipollestes toutes paires de segments de droite parallèles de même longueur et de même orientation. Essentiellement, il a réalisé une relation d'équivalence sur les paires de points (bipoints) du plan, et a ainsi construit le premier espace vectoriel du plan. Le terme « vecteur » a été introduit par William Rowan Hamilton comme composante d'un quaternion , qui est la somme d'un nombre réel (également appelé scalaire ) et d'un vecteur tridimensionnel . À l'instar de Bellavitis, Hamilton considérait les vecteurs comme représentatifs de classes de segments orientés équipolles. Comme les nombres complexes utilisent une unité imaginaire pour compléter la ligne réelle , Hamilton a considéré que le vecteur était la partie imaginaire d'un quaternion :

La partie algébriquement imaginaire, étant construite géométriquement par une ligne droite, ou vecteur rayon, qui a, en général, pour chaque quaternion déterminé, une longueur et une direction déterminées dans l'espace, peut être appelée la partie vectorielle, ou simplement le vecteur du quaternion.

Plusieurs autres mathématiciens ont développé des systèmes de type vectoriel au milieu du XIXe siècle, notamment Augustin Cauchy , Hermann Grassmann , August Möbius , le comte de Saint-Venant et Matthew O'Brien . L'ouvrage de Grassmann de 1840, * (Théorie du flux et du reflux), fut le premier système d'analyse spatiale comparable au système actuel et introduisait des concepts liés au produit vectoriel, au produit scalaire et à la différentiation vectorielle. Les travaux de Grassmann furent largement négligés jusqu'aux années 1870. Peter Guthrie Tait a perpétué l'approche quaternionique après Hamilton. Son *Elementary Treatise of Quaternions* (1867) comprenait une étude approfondie de l' opérateur nabla ou del ∇. En 1878, William Kingdon Clifford publia * Elements of Dynamic* . Clifford a simplifié l'étude des quaternions en isolant le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs du produit quaternionique complet. Cette approche a rendu les calculs vectoriels accessibles aux ingénieurs – et à tous ceux qui travaillaient en trois dimensions et restaient sceptiques quant à l'existence d'une quatrième dimension.

Josiah Willard Gibbs , initié aux quaternions par le Traité d'électricité et de magnétisme de James Clerk Maxwell , en a dissocié la dimension vectorielle pour la traiter indépendamment. La première partie de ses Éléments d'analyse vectorielle , publiés en 1881, présente ce qui constitue l'essentiel du système moderne d'analyse vectorielle. En 1901, Edwin Bidwell Wilson publia Analyse vectorielle , adaptation des cours de Gibbs, qui exclut toute mention des quaternions dans le développement du calcul vectoriel.

Aperçu

En physique et en ingénierie , un vecteur est généralement considéré comme une entité géométrique caractérisée par une magnitude et une direction . Il est formellement défini comme un segment de droite orienté , ou flèche, dans un espace euclidien . En mathématiques pures , un vecteur est défini plus généralement comme tout élément d'un espace vectoriel . Dans ce contexte, les vecteurs sont des entités abstraites qui peuvent être caractérisées ou non par une magnitude et une direction. Cette définition généralisée implique que les entités géométriques mentionnées ci-dessus sont un type particulier de vecteurs abstraits, puisqu'elles sont des éléments d'un type particulier d'espace vectoriel appelé espace euclidien . Cet article traite des vecteurs strictement définis comme des flèches dans l'espace euclidien. Lorsqu'il est nécessaire de distinguer ces vecteurs particuliers des vecteurs tels que définis en mathématiques pures, on les appelle parfois vecteurs géométriques , spatiaux ou euclidiens .

Un vecteur euclidien possède un point de départ et un point d'arrivée définis ; cette condition est mise en évidence lorsqu'on qualifie le vecteur résultant de « vecteur lié » . Lorsque seuls la norme et la direction du vecteur importent, et que ses points de départ et d'arrivée sont sans importance, le vecteur est dit « vecteur libre » . La distinction entre vecteurs liés et vecteurs libres est particulièrement pertinente en mécanique, où une force appliquée à un corps possède un point de contact (voir force résultante et couple ).

Deux flèches ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{AB <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mrow><mi>UN</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mspace></mspace><mo>⟶</mo></mrow></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{AB}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{A'B' <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mspace></mspace><mo>⟶</mo></mrow></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{A'B'}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ABB′A′ est un parallélogramme . Si l'espace euclidien est muni d'une origine , alors un vecteur libre est équivalent au vecteur lié de même norme et de même direction dont l'origine est l'origine.

Le terme vecteur a également des généralisations à des dimensions supérieures, et à des approches plus formelles avec des applications beaucoup plus larges.

Informations complémentaires

En géométrie euclidienne classique (ou géométrie synthétique ), les vecteurs ont été introduits (au XIXe siècle) comme classes d'équivalence sous l'hypothèse d' équipollence de paires ordonnées de points ; deux paires et sont équipollenantes si les points , dans cet ordre, forment un parallélogramme . Une telle classe d'équivalence est appelée vecteur , plus précisément vecteur euclidien . La classe d'équivalence de est souvent notée [… ]. ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mrow><mi>UN</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Un vecteur euclidien est donc une classe d'équivalence de segments orientés ayant la même norme (par exemple, la longueur du segment ) et la même direction (par exemple, la direction de ). En physique, les vecteurs euclidiens servent à représenter des grandeurs physiques qui possèdent à la fois une norme et une direction, mais qui ne sont pas localisées en un point précis, contrairement aux scalaires qui n'ont pas de direction. Par exemple, la vitesse , les forces et l'accélération sont représentées par des vecteurs.

En géométrie moderne, les espaces euclidiens sont souvent définis à partir de l'algèbre linéaire . Plus précisément, un espace euclidien ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}, <mrow><mstyle><mrow><mover><mi>E</mi><mo>→</mo></mover></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {E}},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mi>E</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {E}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Parfois, on considère les vecteurs euclidiens sans référence à un espace euclidien. Dans ce cas, un vecteur euclidien est un élément d'un espace vectoriel normé de dimension finie sur les réels, ou, typiquement, un élément de l' espace des coordonnées réelles. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$

L'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ l' espace euclidien standard de dimension est isomorphe à l'espace euclidien standard. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mrow><mi>O</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle { overrightarrow {OP}}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}, <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}</annotation></semantics></math><img src=$ F est −15 N. Dans les deux cas, la magnitude du vecteur est de 15 N. De même, la représentation vectorielle d'un déplacement Δs de 4 mètres serait 4 m ou −4 m, selon sa direction, et sa magnitude serait toujours de 4 m .

En physique et en ingénierie

Les vecteurs sont fondamentaux en sciences physiques. Ils permettent de représenter toute grandeur physique possédant une magnitude, une direction et respectant les règles de l'addition vectorielle. La vitesse, par exemple, est représentée par le vecteur (0, 5) (en deux dimensions, l' axe des y positifs étant orienté vers le haut ). La force est une autre grandeur vectorielle , puisqu'elle possède une magnitude et une direction et respecte les règles de l'addition vectorielle. Les vecteurs décrivent également de nombreuses autres grandeurs physiques, telles que le déplacement linéaire, l' accélération linéaire, l'accélération angulaire , la quantité de mouvement et le moment cinétique . D'autres vecteurs physiques, comme les champs électrique et magnétique , sont représentés par un système de vecteurs en chaque point de l'espace physique : un champ vectoriel . Le déplacement angulaire et le courant électrique, par exemple, possèdent une magnitude et une direction, mais ne respectent pas les règles de l'addition vectorielle. Ce ne sont donc pas des vecteurs.

Dans l'espace cartésien

Dans le système de coordonnées cartésiennes , un vecteur lié peut être représenté en identifiant les coordonnées de son point initial et de son point final. Par exemple, les points et dans l'espace déterminent le vecteur lié. ${\displaystyle {\overrightarrow {AB <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mrow><mi>UN</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}</annotation></semantics></math><img src=$ des x au point sur l' axe des y .

En coordonnées cartésiennes, un vecteur libre peut être défini par un vecteur lié correspondant, dont l'origine a pour coordonnées l'origine . Il est alors déterminé par les coordonnées de l'extrémité de ce vecteur lié. Ainsi, le vecteur libre représenté par (1, 0, 0) est un vecteur de longueur unitaire, orienté selon la direction positive de l' axe des x .

Cette représentation par coordonnées des vecteurs libres permet d'exprimer leurs propriétés algébriques de manière numérique et pratique. Par exemple, la somme des deux vecteurs libres (1, 2, 3) et (−2, 0, 4) est le vecteur libre. ${\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,. <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>7</mn><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.}</annotation></semantics></math><img src=$

Vecteurs euclidiens et affines

En géométrie et en physique, il est parfois possible d'associer naturellement une longueur ou une norme et une direction aux vecteurs. De plus, la notion de direction est étroitement liée à celle d' angle entre deux vecteurs. Si l'on définit le produit scalaire de deux vecteurs, on peut également définir une longueur ; le produit scalaire fournit une caractérisation algébrique pratique de l'angle (fonction du produit scalaire de deux vecteurs non nuls quelconques) et de la longueur (racine carrée du produit scalaire d'un vecteur par lui-même). En trois dimensions, on peut en outre définir le produit vectoriel , qui fournit une caractérisation algébrique de l' aire et de l'orientation spatiale du parallélogramme défini par deux vecteurs (utilisés comme côtés du parallélogramme). En toute dimension (et notamment en dimensions supérieures), on peut définir le produit extérieur , qui (entre autres) fournit une caractérisation algébrique de l'aire et de l'orientation spatiale du parallélotope à n dimensions défini par n vecteurs.

Dans un espace pseudo-euclidien , le carré de la norme d'un vecteur peut être positif, négatif ou nul. L'espace de Minkowski (essentiel à notre compréhension de la relativité restreinte ) en est un exemple important.

Cependant, il n’est pas toujours possible ni souhaitable de définir la longueur d’un vecteur. Ce type plus général de vecteur spatial est étudié dans les espaces vectoriels (pour les vecteurs libres) et les espaces affines (pour les vecteurs liés, chacun étant représenté par une paire ordonnée de « points »). Un exemple physique nous vient de la thermodynamique , où de nombreuses grandeurs d’intérêt peuvent être considérées comme des vecteurs dans un espace sans notion de longueur ni d’angle.

Généralisations

En physique comme en mathématiques, un vecteur est souvent identifié à un n-uplet de composantes, ou liste de nombres, qui servent de coefficients scalaires à un ensemble de vecteurs de base . Lorsqu'on transforme la base, par exemple par rotation ou étirement, les composantes de tout vecteur exprimé dans cette base se transforment également, mais en sens inverse. Le vecteur lui-même reste inchangé, mais la base, si ; les composantes du vecteur doivent donc être modifiées en conséquence. On dit alors que le vecteur est covariant ou contravariant , selon la relation entre la transformation de ses composantes et celle de la base. En général, les vecteurs contravariants sont des vecteurs « classiques » dont l'unité est une distance (comme un déplacement) ou le produit d'une distance par une autre unité (comme une vitesse ou une accélération) ; les vecteurs covariants, quant à eux, ont pour unité l'inverse d'une distance, comme le gradient . Si l'on change d'unités (cas particulier d'un changement de base ) des mètres aux millimètres, avec un facteur d'échelle de 1/1000, un déplacement de 1 m devient 1000 mm – une variation contravariante de la valeur numérique. En revanche, un gradient de 1 K /m devient 0,001 K/mm – une variation covariante de la valeur (pour plus d'informations, voir la covariance et la contravariance des vecteurs ). Les tenseurs constituent un autre type de grandeur se comportant de cette manière ; un vecteur est un type de tenseur .

En mathématiques pures , un vecteur est un élément d'un espace vectoriel défini sur un corps et est souvent représenté par un vecteur de coordonnées . Les vecteurs décrits dans cet article constituent un cas particulier de cette définition générale, car ils sont contravariants par rapport à l'espace environnant. La contravariance traduit l'intuition physique sous-jacente à l'idée qu'un vecteur possède une « magnitude et une direction ».

Représentations

{\displaystyle \mathbf {u} </span referrerpolicy=

, ${\displaystyle \mathbf {v} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>v</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation></semantics></math><img src=$ et

{\displaystyle \mathbf {w} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>w</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {w} }</annotation></semantics></math></span><img src=

un . ( Les lettres majuscules sont généralement utilisées pour représenter les matrices .) D'autres conventions incluent

{\displaystyle {\vec {a <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>un</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

un , notamment à la main. Certains utilisent également un tilde (~) ou un trait ondulé souligné sous le symbole, par exemple

{\displaystyle {\underset {^{\sim }}{a <semantics><mrow><mstyle><mrow><munder><mi>un</mi><msup><mi></mi><mrow><mo>∼</mo></mrow></msup></munder></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\underset {^{\sim }}{a}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

A à un point B (voir figure), il peut également être noté comme

{\displaystyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mrow><mi>UN</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mo>⟶</mo></mrow></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

AB . Dans la littérature allemande , il était particulièrement courant de représenter les vecteurs avec de petites lettres fraktur telles que

{\displaystyle {\mathfrak {a <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle { mathfrak {a}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Dans les graphiques et autres diagrammes, les vecteurs sont généralement représentés par des flèches (segments de droite orientés), comme illustré sur la figure. Le point A est appelé origine, base ou point initial , et le point B est appelé extrémité ou point final . La longueur de la flèche est proportionnelle à la norme du vecteur , tandis que son orientation indique la direction du vecteur.

Sur un diagramme bidimensionnel, on souhaite parfois représenter un vecteur perpendiculaire au plan du diagramme. Ces vecteurs sont généralement représentés par de petits cercles. Un cercle avec un point en son centre (Unicode U+2299 ⊙) indique un vecteur dirigé vers l'extérieur du diagramme, en direction de l'observateur. Un cercle avec une croix inscrite (Unicode U+2297 ⊗) indique un vecteur dirigé vers l'intérieur du diagramme, derrière celui-ci. On peut se les représenter comme la pointe d'une flèche vue de face et les branches d'une flèche vues de dos.

Pour effectuer des calculs vectoriels, la représentation graphique peut s'avérer trop complexe. Dans un espace euclidien à n dimensions, les vecteurs peuvent être représentés par des vecteurs de coordonnées dans un système de coordonnées cartésiennes . L'extrémité d'un vecteur est identifiée par une liste ordonnée de n nombres réels ( n - uplet ). Ces nombres correspondent aux coordonnées de l'extrémité du vecteur, par rapport à un système de coordonnées cartésiennes donné , et sont généralement appelés composantes scalaires (ou projections scalaires ) du vecteur sur les axes de ce système.

À titre d'exemple en deux dimensions (voir figure), le vecteur allant de l'origine O = (0, 0) au point A = (2, 3) s'écrit simplement comme ${\displaystyle \mathbf {a} =(2,3). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} =(2,3).}</annotation></semantics></math><img src=$

L'idée que l'extrémité du vecteur coïncide avec l'origine est implicite et facile à comprendre. Ainsi, la notation plus explicite ${\displaystyle {\overrightarrow {OA <semantics><mrow><mstyle><mrow><mover><mrow><mi>O</mi><mi>UN</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans l'espace euclidien tridimensionnel (ou ), les vecteurs sont identifiés à des triplets de composantes scalaires : ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).}</annotation></semantics></math><img src=$

Cela peut être généralisé à l'espace euclidien n-dimensionnel (ou ). ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1},a_{n}). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1},a_{n}).}</annotation></semantics></math><img src=$

Ces nombres sont souvent organisés en vecteur colonne ou en vecteur ligne , notamment lorsqu'il s'agit de matrices , comme suit : ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]^{\operatorname {T} }. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>[</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo>]</mo></mrow></mrow><mo>=</mo><mo>[</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mtext> </mtext><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mtext> </mtext><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msup><mo>]</mo><mrow><mi>T</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]^{\operatorname {T} }.}</annotation></semantics></math><img src=$

Une autre façon de représenter un vecteur en n dimensions consiste à introduire les vecteurs de base canoniques . Par exemple, en trois dimensions, il en existe trois : ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1). <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).}</annotation></semantics></math><img src=$ x , y et z d'un système de coordonnées cartésiennes . Ainsi, tout vecteur a de peut s'exprimer sous la forme : ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\ <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>,</mo><mtext> </mtext></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\ }</annotation></semantics></math><img src=$

ou ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3},}</annotation></semantics></math><img src=$

où a ₁ , a ₂ , a ₃ sont appelées les composantes vectorielles (ou projections vectorielles ) de a sur les vecteurs de base ou, de manière équivalente, sur les axes cartésiens correspondants x , y , et z (voir figure), tandis que a ₁ , a ₂ , a ₃ sont les composantes scalaires respectives (ou projections scalaires).

Dans les manuels d'introduction à la physique, les vecteurs de base standard sont souvent notés ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>je</mi></mrow><mo>,</mo><mrow><mi>j</mi></mrow><mo>,</mo><mrow><mi>k</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbf {i}, mathbf {j}, mathbf {k}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>x</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>y</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>z</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbf { hat {x}} , mathbf { hat {y}} , mathbf { hat {z}} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {}} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mrow></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {\hat {}} }</annotation></semantics></math><img src=$ a _x , a _y , a _z et a _x , a _y , a _z (notez la différence en gras). Ainsi,

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></mrow><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></mrow><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }.}</annotation></semantics></math><img src=$

La notation e _i est compatible avec la notation indicielle et la convention de sommation couramment utilisées en mathématiques supérieures, en physique et en ingénierie.

Décomposition ou résolution

{ displaystyle mathbf { hat {x}} , mathbf { hat {y}} , mathbf { hat {z}} </span referrerpolicy=

Il n'existe pas de base obligatoire pour représenter un vecteur. Les vecteurs peuvent également être exprimés dans une base arbitraire, y compris les vecteurs unitaires d'un système de coordonnées cylindriques (

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat { ho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>ρ</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>ϕ</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>z</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {\hat { ho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat { heta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>r</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>θ</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>ϕ</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat { heta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Le choix d'une base n'affecte pas les propriétés d'un vecteur ni son comportement sous l'effet des transformations.

Un vecteur peut également être décomposé par rapport à des vecteurs de base « non fixes » dont l’ orientation varie en fonction du temps ou de l’espace. Par exemple, un vecteur dans l’espace tridimensionnel peut être décomposé par rapport à deux axes : l’axe normal et l’axe tangent à une surface (voir figure). De plus, les composantes radiale et tangentielle d’un vecteur sont liées au rayon de rotation de l’objet. La première est parallèle au rayon et la seconde lui est orthogonale .

Dans ces cas, chacun des composants peut être décomposé à son tour par rapport à un système de coordonnées fixe ou à un ensemble de base (par exemple, un système de coordonnées global ou un référentiel inertiel ).

Biens et opérations

{\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1) </span referrerpolicy=

et suppose que tous les vecteurs ont l'origine comme point de base commun. Un vecteur a sera écrit comme

{\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Égalité

Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont la même magnitude et la même direction. Autrement dit, ils sont égaux si leurs coordonnées sont égales. Donc, deux vecteurs ${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,}</annotation></semantics></math><img src=$

Vecteurs opposés, parallèles et antiparallèles

Deux vecteurs sont opposés s'ils ont la même magnitude mais une direction opposée ; donc deux vecteurs

${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}</annotation></semantics></math><img src=$

sont opposés si

${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,}</annotation></semantics></math><img src=$

Deux vecteurs sont équidirectionnels (ou codirectionnels ) s'ils ont la même direction mais pas nécessairement la même magnitude. Deux vecteurs sont parallèles s'ils ont la même direction ou des directions opposées, mais pas nécessairement la même magnitude ; deux vecteurs sont antiparallèles s'ils ont des directions strictement opposées, mais pas nécessairement la même magnitude.

Addition et soustraction

{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}. </span referrerpolicy=

Le vecteur résultant est parfois appelé le vecteur résultant de a et b .

L'addition peut être représentée graphiquement en plaçant l'origine de la flèche b à l'extrémité de la flèche a , puis en traçant une flèche de l'origine de a à l'extrémité de b . La nouvelle flèche tracée représente le vecteur a + b , comme illustré ci-dessous :

Cette méthode d'addition est parfois appelée la règle du parallélogramme car a et b forment les côtés d'un parallélogramme et a + b est l'une de ses diagonales. Si a et b sont des vecteurs liés ayant la même origine, cette origine est également celle de a + b . On peut vérifier géométriquement que a + b = b + a et ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

La différence entre a et b est

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>−</mo><mrow><mi>b</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}</annotation></semantics></math><img src=$

La soustraction de deux vecteurs peut être illustrée géométriquement comme suit : pour soustraire b de a , placez les origines de a et b au même point, puis tracez une flèche de l’origine de b à l’origine de a . Cette flèche représente le vecteur (-b) + a , (-b) étant le vecteur opposé à b (voir schéma). Et (-b) + a = a − b .

Multiplication scalaire

{\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}. </span referrerpolicy=

Intuitivement, multiplier par un scalaire r étire un vecteur d'un facteur r . Géométriquement, cela peut être visualisé (au moins dans le cas où r est un entier) comme le placement de r copies du vecteur sur une ligne où l'extrémité d'un vecteur est le point de départ du vecteur suivant.

Si r est négatif, le vecteur change de direction : il pivote d’un angle de 180°. Deux exemples ( r = −1 et r = 2) sont donnés ci-dessous :

La multiplication scalaire est distributive sur l'addition vectorielle au sens suivant : r ( a + b ) = r a + r b pour tous les vecteurs a et b et tous les scalaires r . On peut également montrer que a − b = a + (−1) b .

Longueur

La longueur , la magnitude ou la norme du vecteur a est notée ‖ a ‖ ou, moins couramment, | a |, qu'il ne faut pas confondre avec la valeur absolue (une « norme » scalaire).

La longueur du vecteur a peut être calculée avec la norme euclidienne ,

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} ight\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt><msubsup><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left\|\mathbf {a} ight\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}</annotation></semantics></math><img src=$

ce qui est une conséquence du théorème de Pythagore puisque les vecteurs de base e ₁ , e ₂ , e ₃ sont des vecteurs unitaires orthogonaux.

Cela correspond à la racine carrée du produit scalaire , discuté ci-dessous, du vecteur avec lui-même :

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} ight\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>un</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left\|\mathbf {a} ight\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Vecteur unitaire

, multipliez le vecteur par l'inverse de sa longueur ‖ a ‖. C'est-à-dire :

${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} ight\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} ight\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} ight\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} ight\|}}\mathbf {e} _{3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>un</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow></mfrac></mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mrow><mfrac><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow></mfrac></mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mrow><mfrac><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow></mfrac></mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} ight\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} ight\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} ight\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} ight\|}}\mathbf {e} _{3}}</annotation></semantics></math><img src=$

Vecteur zéro

et est généralement noté .

{\displaystyle {\vec {0 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mn>0</mn><mo>→</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\vec {0}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

0 , ou simplement 0. Contrairement à tout autre vecteur, il possède une direction arbitraire ou indéterminée et ne peut être normalisé (c'est-à-dire qu'il n'existe aucun vecteur unitaire multiple du vecteur nul). La somme du vecteur nul et de tout vecteur a est égale à a (c'est-à-dire, ).

Produit scalaire

∙ b et est défini comme :

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} ight\|\left\|\mathbf {b} ight\|\cos heta , <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>b</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>b</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} ight\|\left\|\mathbf {b} ight\|\cos heta ,}</annotation></semantics></math><img src=$

où θ représente la mesure de l' angle entre a et b (voir la fonction trigonométrique pour une explication du cosinus). Géométriquement, cela signifie que a et b sont tracés à partir d'un point de départ commun, puis que la longueur de a est multipliée par la longueur de la composante de b qui pointe dans la même direction que a .

Le produit scalaire peut également être défini comme la somme des produits des composantes de chaque vecteur.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>b</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}</annotation></semantics></math><img src=$

produit croisé

${\displaystyle \mathbf {a} imes \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} ight\|\left\|\mathbf {b} ight\|\sin( heta )\,\mathbf {n} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>×</mo><mrow><mi>b</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow><mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>b</mi></mrow><mo>‖</mo></mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mrow><mi>n</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} imes \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} ight\|\left\|\mathbf {b} ight\|\sin( heta )\,\mathbf {n} }</annotation></semantics></math><img src=$

où θ est la mesure de l'angle entre a et b , et n est un vecteur unitaire perpendiculaire à la fois à a et à b, ce qui complète un système direct . La contrainte de directivité est nécessaire car il existe deux vecteurs unitaires perpendiculaires à la fois à a et à b , à savoir n et (−n ) .

Le produit vectoriel a × b est défini de telle sorte que a , b et a × b forment également un système direct (bien que a et b ne soient pas nécessairement orthogonaux ). C'est la règle de la main droite .

La longueur de a × b peut être interprétée comme l'aire du parallélogramme ayant a et b comme côtés.

Le produit vectoriel peut s'écrire comme ${\displaystyle {\mathbf {a} } imes {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow><mo>×</mo><mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {a} } imes {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour des choix arbitraires d'orientation spatiale (c'est-à-dire en autorisant les systèmes de coordonnées gauches et droites), le produit vectoriel de deux vecteurs est un pseudovecteur au lieu d'un vecteur (voir ci-dessous).

triple produit scalaire

{\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} imes \mathbf {c} ). </span referrerpolicy=

Il possède trois usages principaux. Premièrement, la valeur absolue du produit vectoriel est le volume du parallélépipède dont les côtés sont définis par les trois vecteurs. Deuxièmement, le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont linéairement dépendants , ce qui se démontre aisément en considérant que, pour que les trois vecteurs ne représentent pas un volume, ils doivent être coplanaires. Troisièmement, le produit vectoriel est positif si et seulement si les trois vecteurs a , b et c sont directs.

En composantes ( par rapport à une base orthonormée droite ), si les trois vecteurs sont considérés comme des lignes (ou des colonnes, mais dans le même ordre), le produit mixte scalaire est simplement le déterminant de la matrice 3x3 dont les lignes sont les trois vecteurs. ${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>b</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>c</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>|</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo>|</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Le produit mixte scalaire est linéaire par rapport à ses trois coefficients et antisymétrique au sens suivant : ${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ). <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>b</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>c</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mrow><mi>c</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>un</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>b</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mrow><mi>b</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>c</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mo>(</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>c</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>b</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mo>(</mo><mrow><mi>b</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>un</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>c</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mo>(</mo><mrow><mi>c</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>b</mi></mrow><mtext> </mtext><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).}</annotation></semantics></math><img src=$

Conversion entre plusieurs bases cartésiennes

_{Tous les} exemples précédents traitaient de vecteurs exprimés dans la même base, à savoir la base e { e₁ _,e₂ , e₃ _} . Cependant, un vecteur peut être exprimé dans un nombre quelconque de bases différentes, non nécessairement alignées entre elles, tout en restant le même vecteur. Dans la base e, un vecteur a est exprimé, par définition, comme

${\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><mi>p</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>q</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Les composantes scalaires dans la base e sont, par définition,

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\ &=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>p</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>q</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\ &=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans une autre base orthonormée n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ } qui n'est pas nécessairement alignée avec e , le vecteur a s'exprime comme

${\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>=</mo><mi>vous</mi><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>v</mi><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>w</mi><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}}</annotation></semantics></math><img src=$

et les composantes scalaires dans la base n sont, par définition,

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>vous</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>v</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Les valeurs de p , q , r et u , v , w sont liées aux vecteurs unitaires de telle sorte que la somme vectorielle résultante soit exactement le même vecteur physique a dans les deux cas. Il est fréquent de rencontrer des vecteurs exprimés dans des bases différentes (par exemple, une base liée à la Terre et une autre liée à un véhicule en mouvement). Dans ce cas, il est nécessaire de développer une méthode de conversion entre les bases afin de pouvoir effectuer les opérations vectorielles de base telles que l'addition et la soustraction. Une façon d'exprimer u , v , w en fonction de p , q , r consiste à utiliser des matrices colonnes ainsi qu'une matrice de cosinus directeurs contenant les informations reliant les deux bases. Une telle expression peut être obtenue par substitution des équations précédentes.

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>vous</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>q</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>v</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>q</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>q</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

La distribution de la multiplication scalaire donne

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>vous</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>p</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>q</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>v</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>p</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>q</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>p</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>q</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Remplacer chaque produit scalaire par un scalaire unique donne

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>vous</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub><mi>p</mi><mo>+</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><mi>q</mi><mo>+</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mn>13</mn></mrow></msub><mi>r</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>v</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub><mi>p</mi><mo>+</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub><mi>q</mi><mo>+</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mi>r</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mn>31</mn></mrow></msub><mi>p</mi><mo>+</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mn>32</mn></mrow></msub><mi>q</mi><mo>+</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mn>33</mn></mrow></msub><mi>r</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

et ces équations peuvent être exprimées sous la forme d'une seule équation matricielle

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\ \end{bmatrix}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mo>[</mo><mtable><mtr><mtd><mi>vous</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>v</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w</mi></mtd></mtr></mtable><mo>]</mo></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>[</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>13</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>31</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>32</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>33</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo>]</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>[</mo><mtable><mtr><mtd><mi>p</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>q</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r</mi></mtd></mtr></mtable><mo>]</mo></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\ \end{bmatrix}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette équation matricielle relie les composantes scalaires de a dans la base n ( u , v et w ) à celles dans la base e ( p , q et r ). Chaque élément de matrice c _{jk} est le cosinus directeur reliant n _j à e _k . Le terme cosinus directeur désigne le cosinus de l'angle entre deux vecteurs unitaires, qui est également égal à leur produit scalaire . Par conséquent,

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>13</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>31</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>32</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mn>33</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

En désignant collectivement e₁, e₂, e₃ _commela _basee et n₁, n₂, n₃ _comme la base _n, la _matrice contenant tous les cⱼᵏᵏ est appelée « matrice de transformation de e à n », ou « matrice de rotation de e à n » (car elle peut être vue comme la « rotation » d'un vecteur d'une base à l' autre ) , ou encore « matrice des cosinus directeurs de e à _n_» [ 20 ] ( car cosinus directeurs). Les propriétés d'une matrice de rotation sont telles que son inverse est égale à sa transposée . Cela signifie que la « matrice de rotation de e à n » est la transposée de la « matrice de rotation de n à e ».

Les propriétés d'une matrice de cosinus directeur, C, sont :

le déterminant est l'unité, |C| = 1 ;
l'inverse est égal à la transposée ;
Les lignes et les colonnes sont des vecteurs unitaires orthogonaux, donc leurs produits scalaires sont nuls.

L'avantage de cette méthode est qu'une matrice de cosinus directeurs peut généralement être obtenue indépendamment en utilisant les angles d'Euler ou un quaternion pour relier les deux bases vectorielles, de sorte que les conversions de base peuvent être effectuées directement, sans avoir à calculer tous les produits scalaires décrits ci-dessus.

En appliquant plusieurs multiplications matricielles successives, tout vecteur peut être exprimé dans n'importe quelle base, pourvu que l'ensemble des cosinus directeurs reliant les bases successives soit connu.

Autres dimensions

À l'exception des produits vectoriels et mixtes, les formules ci-dessus se généralisent à deux dimensions et à des dimensions supérieures. Par exemple, l'addition se généralise à deux dimensions comme suit : ${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}, <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Le produit vectoriel ne se généralise pas facilement à d'autres dimensions, contrairement au produit extérieur , qui lui est étroitement lié et dont le résultat est un bivecteur . En deux dimensions, il s'agit simplement d'un pseudoscalaire. ${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}. <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∧</mo><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Un produit vectoriel à sept dimensions est similaire au produit vectoriel en ce sens que son résultat est un vecteur orthogonal aux deux arguments ; il n'existe cependant aucune manière naturelle de sélectionner l'un des produits possibles de ce type.

Physique

Fonctions à valeurs vectorielles

Position, vitesse et accélération

_La position d'un point _x= ( x₁ , x₂ , x₃ ) dans l'espace tridimensionnel peut être représentée par un vecteur position dont l'origine est le point de départ _. ${\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}</annotation></semantics></math><img src=$

_{Étant donné deux} points x = ( x₁ , x₂ , x₃ ) et _y= ₍ y₁ , y₂ , y₃ ₎, _leur déplacement est un vecteur _. ${\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></mrow><mo>−</mo><mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.}</annotation></semantics></math><img src=$ y par rapport à x . La longueur de ce vecteur donne la distance en ligne droite entre x et y . Le déplacement a les dimensions d'une longueur.

La vitesse v d'un point ou d'une particule est un vecteur, sa norme donne sa vitesse . Pour une vitesse constante, la position à l'instant t sera : ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>t</mi><mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></mrow><mo>+</mo><msub><mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},}</annotation></semantics></math><img src=$ x₀ représente la position à l'instant t = 0. La vitesse est la dérivée temporelle de _la position. Ses dimensions sont longueur/temps.

L'accélération a d'un point est un vecteur qui est la dérivée temporelle de la vitesse. Ses dimensions sont longueur/ ^temps² .

Force, énergie, travail

La force est un vecteur de dimensions masse×longueur/temps² ⁽ N ms⁻² ⁾ et la deuxième loi de Newton est la multiplication scalaire ${\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>F</mi></mrow></mrow><mo>=</mo><mi>m</mi><mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }}</annotation></semantics></math><img src=$

Le travail est le produit scalaire de la force et du déplacement. ${\displaystyle W={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}). <semantics><mrow><mstyle><mi>W</mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mi>F</mi></mrow></mrow><mo>⋅</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle W={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).}</annotation></semantics></math><img src=$