Erreur de suivi

En finance , l'erreur de suivi ou le risque actif est une mesure du risque d'un portefeuille d'investissement dû aux décisions de gestion active prises par le gestionnaire de portefeuille ; elle indique dans quelle mesure un portefeuille suit l'indice auquel il est comparé. La meilleure mesure est l' écart type de la différence entre les rendements du portefeuille et de l'indice.

De nombreux portefeuilles sont gérés en fonction d'un indice de référence, généralement un indice. Certains portefeuilles, notamment les fonds indiciels , sont censés reproduire exactement, avant les frais de négociation et autres, les rendements d'un indice, tandis que d'autres « gèrent activement » le portefeuille en s'écartant de l'indice afin de générer des rendements actifs . L'erreur de suivi mesure l'écart par rapport à l'indice de référence : un fonds indiciel a une erreur de suivi proche de zéro, tandis qu'un portefeuille géré activement aurait normalement une erreur de suivi plus élevée. Ainsi, l'erreur de suivi n'inclut aucun risque (rendement) qui n'est qu'une fonction du mouvement du marché. En plus du risque (rendement) lié à la sélection d'actions spécifiques ou à des « bêtas » sectoriels et factoriels , elle peut également inclure le risque (rendement) lié aux décisions de synchronisation du marché .

En divisant le rendement actif du portefeuille par l’erreur de suivi du portefeuille, on obtient le ratio d’information , qui est une mesure de performance ajustée au risque.

Définition

Si l'erreur de suivi est mesurée de manière historique, elle est appelée erreur de suivi « réalisée » ou « ex post ». Si un modèle est utilisé pour prédire l'erreur de suivi, on parle d'erreur de suivi « ex ante ». L'erreur de suivi ex post est plus utile pour rendre compte des performances, tandis que l'erreur de suivi ex ante est généralement utilisée par les gestionnaires de portefeuille pour contrôler le risque. Il existe différents types de modèles d'erreur de suivi ex ante, des modèles d'actions simples qui utilisent le bêta comme déterminant principal aux modèles de titres à revenu fixe multifactoriels plus complexes . Dans un modèle factoriel d'un portefeuille, le risque non systématique (c'est-à-dire l'écart type des résidus) est appelé « erreur de suivi » dans le domaine de l'investissement. Cette dernière façon de calculer l'erreur de suivi complète les formules ci-dessous, mais les résultats peuvent varier (parfois d'un facteur 2).

Formules

La formule d'erreur de suivi ex post est l' écart type des rendements actifs, donné par :

{\displaystyle TE=\omega ={\sqrt {\operatorname {Var} (r_{p}-r_{b})}}={\sqrt {{E}[(r_{p}-r_{b})^{2}]-({E}[r_{p}-r_{b}])^{2}}}={\sqrt {(w_{p}-w_{b})^{T}\Sigma (w_{p}-w_{b}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mrow> <msqrt> <mi>Var</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <msqrt> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mo>[</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>]</mo> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <msqrt> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mi>Σ</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle TE=\omega ={\sqrt {\operatorname {Var} (r_{p}-r_{b})}}={\sqrt {{E}[(r_{p}-r_{b})^{2}]-({E}[r_{p}-r_{b}])^{2}}}={\sqrt {(w_{p}-w_{b})^{T}\Sigma (w_{p}-w_{b})}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est le rendement actif, c'est-à-dire la différence entre le rendement du portefeuille et le rendement de référence et est le vecteur des pondérations du portefeuille actif par rapport à l'indice de référence. Le problème d'optimisation de la maximisation du rendement, sous réserve de l'erreur de suivi et des contraintes linéaires, peut être résolu en utilisant la programmation conique du second ordre : ${\displaystyle r_{p}-r_{b <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r_{p}-r_{b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (w_{p}-w_{b}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (w_{p}-w_{b})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \max _{w}\;\mu ^{T}(w-w_{b}),\quad { ext{s.t.}}\;(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})\leq \omega ^{2},\;Ax\leq b,\;Cx=d <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>max</mo> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </munder> <mspace></mspace> <msup> <mi>μ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>St</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mi>Σ</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>≤</mo> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>UN</mi> <mi>x</mi> <mo>≤</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>C</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \max _{w}\;\mu ^{T}(w-w_{b}),\quad { ext{st}}\;(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})\leq \omega ^{2},\;Ax\leq b,\;Cx=d}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Interprétation

Dans l'hypothèse d'une normalité des rendements, un risque actif de x pour cent signifierait qu'environ 2/3 des rendements actifs du portefeuille (un écart type par rapport à la moyenne) devraient se situer entre +x et -x pour cent du rendement excédentaire moyen et qu'environ 95 % des rendements actifs du portefeuille (deux écarts types par rapport à la moyenne) devraient se situer entre +2x et -2x pour cent du rendement excédentaire moyen.

Exemples

Les fonds indiciels devraient avoir des erreurs de suivi minimales.
Les fonds négociés en bourse inversés sont conçus pour fonctionner comme l' inverse d'un indice ou d'un autre indice de référence, et ainsi refléter les erreurs de suivi par rapport aux positions courtes dans l'indice ou l'indice de référence sous-jacent.

Création de fonds indiciels

Les fonds indiciels sont censés minimiser l'erreur de suivi par rapport à l' indice qu'ils tentent de répliquer, et ce problème peut être résolu à l'aide de techniques d'optimisation standard. Pour commencer, définissez comme suit : où est le vecteur de pondérations actives pour chaque actif par rapport à l' indice de référence et est la matrice de covariance pour les actifs de l'indice. Bien que la création d'un fonds indiciel puisse impliquer de détenir tous les actifs investissables dans l'indice, il est parfois préférable d'investir uniquement dans un sous-ensemble d'actifs. Ces considérations conduisent au problème de programmation quadratique mixte en nombres entiers (MIQP) suivant : où est la condition logique selon laquelle un actif est inclus ou non dans le fonds indiciel, et est défini comme suit : ${\displaystyle \omega ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega ^{2}=(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mi>Σ</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle omega ^ {2} = (w-w_ {b}) ^ {T} Sigma (w-w_ {b})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle w-w_{b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle w-w_{b}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Sigma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle K <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{w}&\quad \omega ^{2}\\{ ext{s.t.}}&\quad w_{j}\leq y_{j},\quad \sum _{j=1}^{N}y_{j}\leq K\\&\quad \ell _{j}y_{j}\leq w_{j}\leq u_{j}y_{j},\quad y_{j}\in \{0,1\},\quad \ell _{j},\;u_{j}\geq 0\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mo>min</mo> <mrow> <mi>w</mi> </mrow> </munder> </mtd> <mtd> <mspace></mspace> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext>s.t.</mtext> </mrow> </mtd> <mtd> <mspace></mspace> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <mi>K</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mspace></mspace> <msub> <mi>ℓ</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>}</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>ℓ</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\min _{w}&\quad \omega ^{2}\\{ ext{s.t.}}&\quad w_{j}\leq y_{j},\quad \sum _{j=1}^{N}y_{j}\leq K\\&\quad \ell _{j}y_{j}\leq w_{j}\leq u_{j}y_{j},\quad y_{j}\in \{0,1\},\quad \ell _{j},\;u_{j}\geq 0\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle y_{j <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y_{j}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $0\\0,\quad &{ ext{otherwise}}\end{cases y_{j} = {\begin{matrix} 1, & w_{j} > 0 \\ 0, & otherwise \end{matrix}$ 0\\0,\quad &{ ext{sinon}}\end{cases}}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2884b66bb4c59ed55377e98500a7bb5ab3feb341">