Paramètre d'emplacement

En statistique , un paramètre de localisation d'une distribution de probabilité est un paramètre à valeur scalaire ou vectorielle qui détermine la « localisation » ou le décalage de la distribution. Dans la littérature sur l'estimation des paramètres de localisation, les distributions de probabilité avec un tel paramètre sont formellement définies de l'une des manières équivalentes suivantes :

• soit comme ayant une fonction de densité de probabilité ou une fonction de masse de probabilité ; ou
• ayant une fonction de distribution cumulative ; ou
• étant défini comme résultant de la transformation de variable aléatoire , où est une variable aléatoire avec une certaine distribution, éventuellement inconnue (Voir aussi #Bruit_additif).

Un exemple direct de paramètre de localisation est le paramètre de la distribution normale . Pour le voir, notez que la fonction de densité de probabilité d'une distribution normale peut avoir le paramètre factorisé et s'écrire comme suit :

répondant ainsi à la première des définitions données ci-dessus.

La définition ci-dessus indique, dans le cas unidimensionnel, que si est augmenté, la densité de probabilité ou la fonction de masse se décale rigidement vers la droite, conservant sa forme exacte.

Un paramètre de localisation peut également être trouvé dans les familles ayant plus d'un paramètre, telles que les familles localisation-échelle . Dans ce cas, la fonction de densité de probabilité ou la fonction de masse de probabilité sera un cas particulier de la forme plus générale

où est le paramètre de localisation, θ représente des paramètres supplémentaires et est une fonction paramétrée sur les paramètres supplémentaires.

Soit une fonction de densité de probabilité quelconque et soit et des constantes quelconques. Alors la fonction $0\sigma >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/762ecd0f0905dd0d4d7a07f80fa8bfb324b9b021">

est une fonction de densité de probabilité.

La famille de localisation est alors définie comme suit :

Soit une fonction de densité de probabilité quelconque. La famille de fonctions de densité de probabilité est alors appelée famille de localisation avec fonction de densité de probabilité standard , où est appelé paramètre de localisation pour la famille.

Une autre façon de penser aux familles de localisations est d'utiliser le concept de bruit additif . Si est une constante et W est un bruit aléatoire avec une densité de probabilité, alors a une densité de probabilité et sa distribution fait donc partie d'une famille de localisations.

Pour le cas univarié continu, considérons une fonction de densité de probabilité , où est un vecteur de paramètres. Un paramètre de localisation peut être ajouté en définissant :

on peut prouver que est un pdf en vérifiant s'il respecte les deux conditions et . s'intègre à 1 car :

maintenant, en modifiant la variable et en mettant à jour l'intervalle d'intégration en conséquence, on obtient :

car c'est un pdf par hypothèse. découle du partage de la même image de , qui est un pdf donc son image est contenue dans .