Worldlex Wiki Dans la théorie axiomatique des ensembles , la fonction de Gimel est la fonction suivante qui associe des nombres cardinaux à des nombres cardinaux :
où cf désigne la fonction de cofinalité ; la fonction de Gimel est utilisée pour étudier la fonction de continuum et la fonction d'exponentiation cardinale . Le symbole est une forme serif de la lettre hébraïque Gimel .
Valeurs de la fonction Gimel
La fonction Gimel a la propriété d'avoir tous les cardinaux infinis par le théorème de König . 
Pour les cardinaux réguliers , , et le théorème d'Easton dit que nous ne savons pas grand-chose sur les valeurs de cette fonction. Pour singulier , les bornes supérieures pour peuvent être trouvées à partir de la théorie PCF de Shelah .
L'hypothèse de Gimel
L' hypothèse de Gimel stipule que . En substance, cela signifie que pour singulier est la plus petite valeur autorisée par les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (en supposant la cohérence).
Sous cette hypothèse, l'exponentiation cardinale est simplifiée, mais pas au même titre que l' hypothèse du continu (qui implique l'hypothèse de Gimel).
Réduire la fonction d'exponentiation à la fonction Gimel
Bukovský (1965) a montré que toute exponentiation cardinale est déterminée (récursivement) par la fonction Gimel comme suit.
- Si est un cardinal régulier infini (en particulier tout successeur infini) alors
- Si est infini et singulier et que la fonction continue est finalement constante en dessous, alors
- Si est une limite et que la fonction continue n'est pas éventuellement constante en dessous, alors
Les règles restantes sont valables à chaque fois et sont toutes deux infinies :
- Si ℵ 0 ≤ κ ≤ λ alors κ λ = 2 λ
- Si μ λ ≥ κ pour certains μ < κ alors κ λ = μ λ
- Si κ > λ et μ λ < κ pour tout μ < κ et cf( κ ) ≤ λ alors κ λ = κ cf(κ)
- Si κ > λ et μ λ < κ pour tout μ < κ et cf( κ ) > λ alors κ λ = κ