vitesse de libération

En mécanique céleste , la vitesse de libération est la vitesse minimale nécessaire à un objet pour échapper au contact ou à l'orbite d'un corps céleste , en supposant :

• Trajectoire balistique – aucune autre force n'agit sur l'objet, comme la propulsion ou le frottement.
• Il n'existe aucun autre objet produisant de la gravité.

Bien que l'expression « vitesse de libération » soit courante, elle est plus précisément décrite comme une vitesse, car elle est indépendante de la direction. La force gravitationnelle entre deux objets dépendant de leur masse combinée, la vitesse de libération dépend également de la masse. Pour les satellites artificiels et les petits objets naturels, la contribution de la masse de l'objet à la masse combinée est négligeable et est donc souvent ignorée.

La vitesse de libération varie avec la distance au centre du corps principal, tout comme la vitesse d'un objet se déplaçant sous l'influence gravitationnelle de ce dernier. Si un objet décrit une orbite circulaire ou elliptique , sa vitesse est toujours inférieure à la vitesse de libération à sa distance actuelle. En revanche, s'il suit une trajectoire hyperbolique, sa vitesse sera toujours supérieure à la vitesse de libération à sa distance actuelle. (Il ralentira à mesure qu'il s'éloigne, mais sa vitesse tend asymptotiquement vers une valeur positive.) Un objet sur une trajectoire parabolique se déplacera toujours exactement à la vitesse de libération à sa distance actuelle. Son énergie cinétique positive et son énergie potentielle gravitationnelle négative sont parfaitement équilibrées ; il ralentira toujours, sa vitesse tendant asymptotiquement vers zéro, sans jamais s'arrêter complètement.

Le calcul de la vitesse de libération sert généralement à déterminer si un objet restera dans la sphère d'influence gravitationnelle d'un corps donné. Par exemple, lors de l'exploration du système solaire, il est utile de savoir si une sonde continuera d'orbiter autour de la Terre ou s'échappera vers une orbite héliocentrique . Il est également utile de savoir de combien une sonde devra ralentir pour être capturée gravitationnellement par le corps cible. Les fusées n'ont pas besoin d'atteindre la vitesse de libération en une seule manœuvre, et les objets peuvent aussi bénéficier d'une assistance gravitationnelle pour détourner l'énergie cinétique des corps massifs.

Le calcul précis des trajectoires nécessite la prise en compte de forces faibles telles que la résistance atmosphérique , la pression de radiation et le vent solaire . Une fusée à propulsion continue ou intermittente (ou un objet empruntant un ascenseur spatial ) peut s'échapper à n'importe quelle vitesse non nulle, mais l'énergie minimale requise reste toujours la même.

La vitesse de libération à une distance d du centre d'un corps primaire à symétrie sphérique (tel qu'une étoile ou une planète) de masse M est donnée par la formule

où:

• G est la constante gravitationnelle universelle ( G ≈6,67 × 10 ⁻¹¹ m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² )
• g = GM / d ² est l'accélération gravitationnelle locale (ou la gravité de surface , lorsque d = r ).

La valeur GM est appelée paramètre gravitationnel standard , ou μ , et est souvent connue avec plus de précision que G ou M pris séparément.

Lorsqu'on lui donne une vitesse initiale V supérieure à la vitesse de libération v _e , l'objet s'approchera asymptotiquement de la vitesse d'excès hyperbolique v _∞ , satisfaisant l'équation :

Par exemple, avec la valeur de définition de la gravité standard de 9,80665 m/s² ⁽ 32,1740 pi/s² ⁾ , la vitesse de libération de la Terre est de 11,186 km/s (40 270 km/h ; 25 020 mi/h ; 36 700 pi/s).

Pour un objet de masse m, l'énergie nécessaire pour échapper au champ gravitationnel d'un corps céleste est GMm / r , fonction de la masse de l'objet (où r est le rayon de la planète, soit 6 371 kilomètres pour la Terre, G est la constante gravitationnelle et M est la masse de la planète, soit M = 5,9736 × 10²⁴ ^kg pour la Terre ). Une grandeur liée à cette notion est l' énergie orbitale spécifique , qui correspond à la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle divisée par la masse. Un objet atteint la vitesse de libération lorsque son énergie orbitale spécifique est supérieure ou égale à zéro.

L'existence de la vitesse de libération peut être vue comme une conséquence de la conservation de l'énergie et d'un champ d'énergie de profondeur finie. Pour un objet possédant une énergie totale donnée et se déplaçant sous l'effet de forces conservatives (comme un champ gravitationnel statique), il ne peut atteindre que des combinaisons de positions et de vitesses correspondant à cette énergie totale ; les positions dont l'énergie potentielle est supérieure sont inaccessibles. Accroître la vitesse (l'énergie cinétique) d'un objet élargit le champ des positions qu'il peut atteindre, jusqu'à ce que, avec suffisamment d'énergie, l'infini devienne accessible.

La formule de la vitesse de libération se déduit du principe de conservation de l'énergie. Par souci de simplification, sauf indication contraire, nous supposons qu'un objet échappe au champ gravitationnel d'une planète sphérique uniforme en s'en éloignant et que la seule force significative agissant sur cet objet est la gravité planétaire. Imaginons un vaisseau spatial de masse m initialement situé à une distance r du centre de masse de la planète, de masse M , et dont la vitesse initiale est égale à sa vitesse de libération, v _{_e} . À son état final, il se trouvera à une distance infinie de la planète et sa vitesse sera négligeable. Seules l'énergie cinétique K et l'énergie potentielle gravitationnelle U_{_g} seront considérées (nous négligerons la résistance de l'atmosphère). Ainsi, par conservation de l'énergie,

On peut poser K_{_final} = 0 car la vitesse finale est arbitrairement petite, et U _{_g _final} = 0 car l'énergie potentielle gravitationnelle finale est définie comme nulle à grande distance d'une planète.

Le même résultat est obtenu par un calcul relativiste , dans lequel la variable r représente la coordonnée radiale ou la circonférence réduite de la métrique de Schwarzschild .

Une autre expression de la vitesse de libération v _{_e} particulièrement utile à la surface du corps est :

où r est la distance entre le centre du corps et le point où la vitesse de libération est calculée et g est l' accélération gravitationnelle à cette distance (c'est-à-dire la gravité de surface ).

Pour un corps avec une distribution de masse à symétrie sphérique, la vitesse de libération v _e de la surface est proportionnelle au rayon en supposant une densité constante, et proportionnelle à la racine carrée de la densité moyenne ρ .

où .

Cette vitesse de libération est relative à un référentiel non rotatif, et non à la surface mobile de la planète ou de la lune, comme expliqué ci-dessous.

La vitesse de libération par rapport à la surface d'un corps en rotation dépend de la direction de son déplacement. Par exemple, la vitesse de rotation de la Terre étant de 465 m/s à l' équateur , une fusée lancée tangentiellement depuis l'équateur terrestre vers l'est nécessite une vitesse initiale d'environ 10,735 km/s par rapport à la surface en mouvement au point de lancement pour s'échapper, tandis qu'une fusée lancée tangentiellement depuis l'équateur terrestre vers l'ouest nécessite une vitesse initiale d'environ 11,665 km/s par rapport à cette même surface . La vitesse à la surface diminue avec le cosinus de la latitude géographique ; c'est pourquoi les bases de lancement spatiales sont souvent situées aussi près que possible de l'équateur, comme Cap Canaveral aux États-Unis (latitude 28°28′ N) et le Centre spatial guyanais en France (latitude 5°14′ N).

Dans la plupart des situations, il est impossible d'atteindre la vitesse de libération quasi instantanément, en raison de l'accélération que cela implique et parce qu'en présence d'une atmosphère, les vitesses hypersoniques en jeu (sur Terre, 11,2 km/s, soit 40 320 km/h) provoqueraient la combustion de la plupart des objets par échauffement aérodynamique ou leur désintégration par la résistance atmosphérique . Pour une orbite de libération réelle, un vaisseau spatial accélère progressivement hors de l'atmosphère jusqu'à atteindre la vitesse de libération appropriée à son altitude (inférieure à celle en surface). Souvent, le vaisseau est d'abord placé sur une orbite de parking (par exemple, une orbite terrestre basse entre 160 et 2 000 km) puis accéléré jusqu'à la vitesse de libération à cette altitude, légèrement inférieure (environ 11,0 km/s sur une orbite terrestre basse à 200 km). Le changement de vitesse supplémentaire requis est cependant bien moindre car le vaisseau spatial possède déjà une vitesse orbitale significative (en orbite terrestre basse, la vitesse est d'environ 7,8 km/s, soit 28 080 km/h).

La vitesse de libération à une altitude donnée est égale à fois la vitesse sur une orbite circulaire à cette même altitude (à comparer avec l'équation de la vitesse sur une orbite circulaire ). Cela correspond au fait que l'énergie potentielle par rapport à l'infini d'un objet sur une telle orbite est égale à moins deux fois son énergie cinétique, alors que pour s'échapper, la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique doit être au moins nulle. La vitesse correspondant à l'orbite circulaire est parfois appelée première vitesse cosmique , tandis que dans ce contexte, la vitesse de libération est appelée seconde vitesse cosmique .

Pour un corps en orbite elliptique souhaitant accélérer vers une orbite d'échappement, la vitesse requise varie et est maximale au périapse, lorsque le corps est au plus près du corps central. Cependant, sa vitesse orbitale est également maximale à ce point, et la variation de vitesse requise est minimale, comme l'explique l' effet Oberth .

La vitesse de libération peut être mesurée soit par rapport à l'autre corps (corps central), soit par rapport au centre de masse (ou barycentre) du système. Ainsi, pour les systèmes à deux corps, le terme « vitesse de libération » peut être ambigu, mais il désigne généralement la vitesse de libération barycentrique du corps le moins massif. La vitesse de libération fait généralement référence à la vitesse de libération de particules tests de masse nulle . Pour ces particules, les vitesses de libération « relative à l'autre » et « barycentrique » sont identiques .

Mais lorsque nous ne pouvons pas négliger la masse plus petite (disons m ), nous arrivons à des formules légèrement différentes.

Puisque le système doit obéir à la loi de conservation de la quantité de mouvement, on constate que la masse la plus grande et la plus petite doivent toutes deux être accélérées dans le champ gravitationnel. Par rapport au centre de masse, la vitesse de la masse la plus grande ( v _{_p} , pour une planète) peut être exprimée en fonction de la vitesse de la masse la plus petite ( v _{_r} , pour une fusée). On obtient :

La vitesse de libération « barycentrique » devient alors , tandis que la vitesse de libération « relative à l'autre » devient .

En ignorant tous les facteurs autres que la force gravitationnelle entre le corps et l'objet, un objet projeté verticalement à la vitesse v depuis la surface d'un corps sphérique avec une vitesse de libération v _e et un rayon R atteindra une hauteur maximale h satisfaisant l'équation

dont la résolution pour h donne

où x = v / v _e est le rapport de la vitesse d'origine v à la vitesse de libération v _e .

Contrairement à la vitesse de libération, la direction (verticalement vers le haut) est importante pour atteindre une hauteur maximale.

Si un objet atteint exactement la vitesse de libération, mais n'est pas dirigé directement à l'opposé de la planète, il suivra une trajectoire courbe. Bien que cette trajectoire ne forme pas une orbite fermée, on peut la qualifier d'orbite. En supposant que la gravité soit la seule force significative en jeu, la vitesse de cet objet en tout point de sa trajectoire sera égale à la vitesse de libération en ce point, du fait de la conservation de l'énergie. Son énergie totale est donc toujours nulle, ce qui implique qu'il possède toujours la vitesse de libération (voir la démonstration ci-dessus). La forme de la trajectoire est une parabole dont le foyer est situé au centre de masse de la planète. Une véritable évasion nécessite une trajectoire qui n'intersecte ni la planète ni son atmosphère, car cela provoquerait la collision de l'objet. Lorsqu'il s'éloigne de la source, ce chemin est appelé orbite de libération . Les orbites de libération sont connues sous le nom d'orbites C₃ = ₀ . C ₃ est l' énergie caractéristique , − GM /2 a , où a est la longueur du demi-grand axe , qui est infinie pour les trajectoires paraboliques.

Si un corps possède une vitesse supérieure à la vitesse de libération, sa trajectoire sera hyperbolique et il aura une vitesse hyperbolique excédentaire, équivalente à l'énergie supplémentaire qu'il possède. Un delta- v supplémentaire relativement faible par rapport à celui nécessaire pour atteindre la vitesse de libération peut engendrer une vitesse relativement élevée à l'infini. Certaines manœuvres orbitales exploitent ce phénomène. Par exemple, à un endroit où la vitesse de libération est de 11,2 km/s, l'ajout de 0,4 km/s produit une vitesse hyperbolique excédentaire de 3,02 km/s.

Si un corps en orbite circulaire (ou au périapse d'une orbite elliptique) accélère dans sa direction de déplacement jusqu'à la vitesse de libération, le point d'accélération correspond au périapse de la trajectoire de libération. La direction finale du déplacement sera alors perpendiculaire à celle du point d'accélération. Si le corps accélère au-delà de la vitesse de libération, la direction finale du déplacement formera un angle plus faible et sera indiquée par l'une des asymptotes de la trajectoire hyperbolique qu'il suit. Par conséquent, le moment de l'accélération est crucial si l'on souhaite s'échapper dans une direction précise.

Si la vitesse au périapse est v , alors l' excentricité de la trajectoire est donnée par :

Ceci est valable pour les trajectoires elliptiques, paraboliques et hyperboliques. Si la trajectoire est hyperbolique ou parabolique, elle tendra asymptotiquement vers un angle par rapport à la direction au périapse.

La vitesse tendra asymptotiquement vers

Dans ce tableau, la partie gauche indique la vitesse de libération depuis la surface visible de la planète ou de la lune (qui peut être gazeuse, comme Jupiter) par rapport à son centre (c'est-à-dire, non par rapport à sa surface en mouvement). Dans la partie droite, V_{_e} désigne la vitesse par rapport au corps central (par exemple, le Soleil). Les lunes sont représentées en retrait sous leur planète. Les valeurs de la dernière colonne sont variables, selon le point précis de l'orbite où la vitesse de libération est atteinte, car les orbites sont elliptiques et non circulaires (notamment celles de Mercure et de Pluton).

Soit G la constante gravitationnelle , M la masse de la Terre (ou de tout autre corps gravitationnel) et m la masse du corps ou projectile qui s'échappe. À une distance r du centre de gravité, le corps subit une force d'attraction.

Le travail nécessaire pour déplacer le corps sur une petite distance dr contre cette force est donc donné par

Le travail total nécessaire pour déplacer le corps de la surface r ₀ du corps gravitationnel à l'infini est alors

Pour que ce travail permette d'atteindre l'infini, l'énergie cinétique minimale du corps au départ doit correspondre à ce travail, de sorte que la vitesse de libération v ₀ satisfait à cette condition.

ce qui donne lieu à