Matrice de caméra

vision par ordinateur , une matrice de caméra ou matrice de projection (de caméra) est une

Position de la caméra

La matrice de la caméra $L' espace nul dérivé dans la section précédente est engendré par le vecteur$

Il s'agit également de la représentation homogène du point 3D de coordonnées (0,0,0), c'est-à-dire le « centre de la caméra » (également appelé pupille d'entrée ; la position du sténopé d'un appareil photo sténopé ) est en O. Cela signifie que le centre de la caméra (et seulement ce point) ne peut pas être mappé sur un point du plan image par la caméra (ou de manière équivalente, il mappe sur tous les points de l'image puisque chaque rayon sur l'image passe par ce point).

Pour tout autre point 3D avec $, le résultat est bien définie et a la forme Cela correspond à un point à l'infini dans le plan image projectif (même si, si le plan image est considéré comme un plan euclidien, il n'existe aucun point d'intersection correspondant).$

Matrice de caméra normalisée et coordonnées d'image normalisées

La matrice de caméra dérivée ci-dessus peut être simplifiée encore davantage si l'on suppose que f = 1 :

où $ici désigne un matrice identité . Notez que matrice ici est divisé en une concaténation d'un une matrice et un vecteur tridimensionnel. La matrice de la caméra est parfois appelée forme canonique .$

Jusqu'à présent, tous les points du monde 3D étaient représentés dans un système de coordonnées centré sur la caméra , c'est-à-dire un système dont l'origine se situe au centre de la caméra (l'emplacement du diaphragme d'un appareil photo sténopé ). En pratique, cependant, les points 3D peuvent être représentés par des coordonnées relatives à un système de coordonnées arbitraire (X1', X2', X3'). En supposant que les axes de coordonnées de la caméra (X1, X2, X3) et les axes (X1', X2', X3') soient de type euclidien (orthogonaux et isotropes), il existe une unique transformation euclidienne 3D (rotation et translation) entre les deux systèmes de coordonnées. Autrement dit, la caméra n'est pas nécessairement à l'origine lorsqu'elle regarde selon l' axe z .

Les deux opérations de rotation et de translation des coordonnées 3D peuvent être représentées comme les deux $matrices$

et

où $est un matrice de rotation et est un vecteur de translation tridimensionnel. Lorsque la première matrice est multipliée par la représentation homogène d'un point 3D, on obtient la représentation homogène du point après rotation, tandis que la seconde matrice effectue une translation. En effectuant ces deux opérations successivement, c'est-à-dire d'abord la rotation puis la translation (le vecteur de translation étant exprimé dans le système de coordonnées déjà transformé), on obtient une matrice de rotation et de translation combinée.$

En supposant que $et Les rotations et translations qui relient les deux systèmes de coordonnées (X1,X2,X3) et (X1',X2',X3') ci-dessus impliquent précisément que$

où $est la représentation homogène du point P dans le système de coordonnées (X1',X2',X3').$

En supposant également que la matrice de la caméra est donnée par $, la transformation des coordonnées du système (X1,X2,X3) en coordonnées d'image homogènes devient$

Par conséquent, la matrice de la caméra qui relie les points du système de coordonnées (X1',X2',X3') aux coordonnées de l'image est

une concaténation d'une matrice de rotation 3D et d'un vecteur de translation tridimensionnel.

Ce type de matrice de caméra est appelé matrice de caméra normalisée . Elle suppose une distance focale de 1 et que les coordonnées de l'image sont mesurées dans un système de coordonnées dont l'origine se situe à l'intersection de l'axe X3 et du plan image, et qui possède les mêmes unités que le système de coordonnées 3D. Les coordonnées de l'image résultantes sont appelées coordonnées de l'image normalisées .

La position de la caméra

Là encore, l'espace nul de la matrice de caméra normalisée, $décrit ci-dessus, est engendré par le vecteur à 4 dimensions$

Il s'agit également, là encore, des coordonnées du centre de la caméra, cette fois-ci par rapport au système (X1', X2', X3'). On peut le constater en appliquant d'abord la rotation, puis la translation au vecteur tridimensionnel. $et le résultat est la représentation homogène des coordonnées 3D (0,0,0).$

Cela implique que le centre de la caméra (dans sa représentation homogène) se trouve dans l'espace nul de la matrice de la caméra, à condition qu'il soit représenté en termes de coordonnées 3D relatives au même système de coordonnées que celui auquel se réfère la matrice de la caméra.

La matrice de caméra normalisée $peut maintenant s'écrire comme$

où $sont les coordonnées 3D de la caméra par rapport au système (X1',X2',X3').$

Matrice de caméra générale

Étant donné la projection produite par une matrice de caméra normalisée, les coordonnées de l'image normalisée résultante peuvent être transformées au moyen d'une homographie 2D arbitraire . Cela inclut les translations et rotations 2D ainsi que les mises à l'échelle (isotropes et anisotropes), mais aussi les transformations de perspective 2D générales . Une telle transformation peut être représentée comme une $matrice qui cartographie les coordonnées d'image normalisées homogènes aux coordonnées de l'image transformée homogène :$

En insérant l'expression ci-dessus pour les coordonnées normalisées de l'image en fonction des coordonnées 3D, on obtient :

Cela produit la forme la plus générale de la matrice de caméra