Diagramme de Bode

En génie électrique et en théorie du contrôle , un diagramme de Bode ( / ˈ b oʊ d i / BOH -dee ) est un graphique de la réponse en fréquence d'un système. Il s'agit généralement d'une combinaison d'un diagramme de magnitude de Bode , exprimant la magnitude (généralement en décibels ) de la réponse en fréquence, et d'un diagramme de phase de Bode , exprimant le déphasage .

Tel que conçu à l'origine par Hendrik Wade Bode dans les années 1930, le tracé est une approximation asymptotique de la réponse en fréquence, utilisant des segments de ligne droite .

Parmi ses nombreuses contributions importantes à la théorie des circuits et à la théorie du contrôle , l'ingénieur Hendrik Wade Bode , alors qu'il travaillait aux Bell Labs dans les années 1930, a conçu une méthode simple mais précise pour représenter graphiquement les courbes de gain et de déphasage. Ces dernières portent son nom, Bode gain plot et Bode phase plot . « Bode » est souvent prononcé / ˈ b oʊ d i / BOH -dee , bien que la prononciation néerlandaise soit [ˈboːdə] , plus proche de l'anglais / ˈ b oʊ d ə / BOH -də .

Bode a été confronté au problème de la conception d'amplificateurs stables avec rétroaction pour une utilisation dans les réseaux téléphoniques. Il a développé la technique de conception graphique des diagrammes de Bode pour montrer la marge de gain et la marge de phase nécessaires pour maintenir la stabilité en cas de variations des caractéristiques du circuit causées pendant la fabrication ou pendant le fonctionnement. Les principes développés ont été appliqués aux problèmes de conception des servomécanismes et d'autres systèmes de contrôle par rétroaction. Le diagramme de Bode est un exemple d'analyse dans le domaine fréquentiel .

Le diagramme de Bode pour un système linéaire invariant dans le temps avec fonction de transfert ( étant la fréquence complexe dans le domaine de Laplace ) se compose d'un diagramme de magnitude et d'un diagramme de phase.

Le diagramme de magnitude de Bode est le graphique de la fonction de fréquence (avec étant l' unité imaginaire ). L' axe des abscisses du diagramme de magnitude est logarithmique et la magnitude est donnée en décibels , c'est-à-dire qu'une valeur pour la magnitude est tracée sur l'axe à .

Le diagramme de phase de Bode est le graphique de la phase , généralement exprimée en degrés, de la fonction de transfert en fonction de . La phase est tracée sur le même axe logarithmique que le diagramme de magnitude, mais la valeur de la phase est tracée sur un axe vertical linéaire.

Cette section montre qu’un diagramme de Bode est une visualisation de la réponse en fréquence d’un système.

Considérons un système linéaire, invariant dans le temps, avec une fonction de transfert . Supposons que le système soit soumis à une entrée sinusoïdale de fréquence ,

qui est appliqué de manière persistante, c'est-à-dire d'un moment à un autre . La réponse sera de la forme

c'est-à-dire également un signal sinusoïdal dont l'amplitude est décalée d'une phase par rapport à l'entrée.

Il peut être démontré que l’ampleur de la réponse est

et que le déphasage est

En résumé, soumis à une entrée de fréquence , le système répond à la même fréquence avec une sortie amplifiée d'un facteur et déphasée de . Ces quantités caractérisent ainsi la réponse en fréquence et sont représentées dans le diagramme de Bode.

Pour de nombreux problèmes pratiques, les diagrammes de Bode détaillés peuvent être approximés à l'aide de segments de droite qui sont des asymptotes de la réponse précise. L'effet de chacun des termes d'une fonction de transfert à éléments multiples peut être approximé par un ensemble de lignes droites sur un diagramme de Bode. Cela permet une solution graphique de la fonction de réponse en fréquence globale. Avant la disponibilité généralisée des ordinateurs numériques, les méthodes graphiques étaient largement utilisées pour réduire le besoin de calculs fastidieux ; une solution graphique pouvait être utilisée pour identifier les plages de paramètres réalisables pour une nouvelle conception.

Le principe d'un diagramme de Bode est que l'on peut considérer le logarithme d'une fonction sous la forme

comme somme des logarithmes de ses zéros et de ses pôles :

Cette idée est utilisée explicitement dans la méthode de tracé des diagrammes de phases. La méthode de tracé des courbes d'amplitude utilise implicitement cette idée, mais comme le logarithme de l'amplitude de chaque pôle ou zéro commence toujours à zéro et ne présente qu'un seul changement d'asymptote (les lignes droites), la méthode peut être simplifiée.

L'amplitude des décibels est généralement définie à l'aide de décibels. Étant donné une fonction de transfert sous la forme

où et sont des constantes, , , et est la fonction de transfert : $0a_n,b_n>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6249f620970dc4a293000bfd4dd71ea9b40ac3d">

• À chaque valeur de s où (un zéro), augmenter la pente de la droite de par décennie .
• À chaque valeur de s où (un pôle), diminuer la pente de la droite de par décennie.
• La valeur initiale du graphique dépend des limites. Le point initial est trouvé en mettant la fréquence angulaire initiale dans la fonction et en trouvant .
• La pente initiale de la fonction à la valeur initiale dépend du nombre et de l'ordre des zéros et des pôles qui se trouvent à des valeurs inférieures à la valeur initiale, et est trouvée à l'aide des deux premières règles.

Pour traiter les polynômes irréductibles du second ordre, on peut, dans de nombreux cas, l'approcher comme .

Notez que les zéros et les pôles se produisent lorsque est égal à un certain ou . Cela est dû au fait que la fonction en question est de norme , et comme il s'agit d'une fonction complexe, . Ainsi, à tout endroit où il y a un zéro ou un pôle impliquant le terme , la norme de ce terme est .

Pour corriger un tracé d'amplitude en ligne droite :

• À chaque zéro, placez un point au-dessus de la ligne.
• À chaque pôle, placez un point sous la ligne.
• Tracez une courbe lisse passant par ces points en utilisant les lignes droites comme asymptotes (lignes vers lesquelles la courbe se rapproche).

Notez que cette méthode de correction n'intègre pas la gestion des valeurs complexes de ou . Dans le cas d'un polynôme irréductible, la meilleure façon de corriger le tracé est de calculer la grandeur de la fonction de transfert au pôle ou au zéro correspondant au polynôme irréductible, et de placer ce point au-dessus ou au-dessous de la ligne à ce pôle ou à ce zéro.

Étant donnée une fonction de transfert sous la même forme que ci-dessus,

l'idée est de dessiner des tracés séparés pour chaque pôle et zéro, puis de les additionner. La courbe de phase réelle est donnée par

Pour dessiner le diagramme de phase, pour chaque pôle et zéro :

• Si est positif, démarrer la ligne (avec une pente nulle) à 0°.
• Si est négatif, démarrer la ligne (avec une pente nulle) à −180°.
• Si la somme du nombre de zéros et de pôles instables est impaire, ajoutez 180° à cette base.
• À chaque (pour des zéros stables ), augmentez la pente de degrés par décennie, en commençant une décennie avant (par exemple, ).
• À chaque (pour les pôles stables ), diminuer la pente de degrés par décennie, en commençant une décennie avant (par exemple, ).
• Les pôles et les zéros « instables » (demi-plan droit) ( ) ont un comportement opposé.$0\mathrm{Re}\left(s\right)>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0992e3b29be0b1bb2feec2e4682f43fe61c38b">
• Aplatissez à nouveau la pente lorsque la phase a changé de degrés (pour un zéro) ou de degrés (pour un pôle).
• Après avoir tracé une ligne pour chaque pôle ou zéro, additionnez les lignes pour obtenir le tracé de phase final ; c'est-à-dire que le tracé de phase final est la superposition de chaque tracé de phase précédent.

Pour créer un tracé en ligne droite pour un filtre passe-bas du premier ordre (unipolaire), on considère la forme normalisée de la fonction de transfert en termes de fréquence angulaire :

Le diagramme de Bode est illustré dans la figure 1(b) ci-dessus, et la construction de l’approximation en ligne droite est discutée ensuite.

L'amplitude (en décibels ) de la fonction de transfert ci-dessus (normalisée et convertie sous forme de fréquence angulaire), donnée par l'expression du gain en décibels :

Ensuite, tracée en fonction de la fréquence d'entrée sur une échelle logarithmique, elle peut être approximée par deux lignes , formant le diagramme de Bode de magnitude asymptotique (approximatif) de la fonction de transfert :

• La première ligne pour les fréquences angulaires ci-dessous est une ligne horizontale à 0 dB, car aux basses fréquences, le terme est petit et peut être négligé, ce qui rend l'équation de gain en décibels ci-dessus égale à zéro.
• La deuxième ligne pour les fréquences angulaires ci-dessus est une ligne avec une pente de −20 dB par décennie, car aux hautes fréquences, le terme domine, et l'expression du gain en décibels ci-dessus se simplifie en , qui est une ligne droite avec une pente de −20 dB par décennie.

Ces deux lignes se rencontrent à la fréquence de coin . Le tracé montre que pour des fréquences bien inférieures à la fréquence de coin, le circuit présente une atténuation de 0 dB, ce qui correspond à un gain de bande passante unitaire, c'est-à-dire que l'amplitude de la sortie du filtre est égale à l'amplitude de l'entrée. Les fréquences supérieures à la fréquence de coin sont atténuées : plus la fréquence est élevée, plus l' atténuation est élevée .

Le diagramme de Bode de phase est obtenu en traçant l'angle de phase de la fonction de transfert donnée par

versus , où et sont respectivement les fréquences angulaires d'entrée et de coupure. Pour les fréquences d'entrée bien inférieures à la fréquence de coin, le rapport est faible et donc l'angle de phase est proche de zéro. Lorsque le rapport augmente, la valeur absolue de la phase augmente et devient −45° lorsque . Lorsque le rapport augmente pour des fréquences d'entrée bien supérieures à la fréquence de coin, l'angle de phase se rapproche asymptotiquement de −90°. L'échelle de fréquence pour le tracé de phase est logarithmique.

L'axe horizontal des fréquences, dans les tracés d'amplitude et de phase, peut être remplacé par le rapport de fréquence normalisé (non dimensionnel) . Dans un tel cas, le tracé est dit normalisé et les unités des fréquences ne sont plus utilisées, puisque toutes les fréquences d'entrée sont désormais exprimées comme des multiples de la fréquence de coupure .

Les figures 2 à 5 illustrent plus en détail la construction des diagrammes de Bode. Cet exemple avec un pôle et un zéro montre comment utiliser la superposition. Pour commencer, les composants sont présentés séparément.

La figure 2 montre le tracé de la magnitude de Bode pour un pôle zéro et un pôle passe-bas, et compare les deux avec les tracés de la ligne droite de Bode. Les tracés de la ligne droite sont horizontaux jusqu'à l'emplacement du pôle (zéro), puis chutent (montent) à 20 dB/décade. La deuxième figure 3 fait de même pour la phase. Les tracés de phase sont horizontaux jusqu'à un facteur de fréquence de dix en dessous de l'emplacement du pôle (zéro), puis chutent (montent) à 45°/décade jusqu'à ce que la fréquence soit dix fois supérieure à l'emplacement du pôle (zéro). Les tracés sont ensuite à nouveau horizontaux à des fréquences plus élevées avec un changement de phase total final de 90°.

Les figures 4 et 5 montrent comment la superposition (addition simple) d'un tracé de pôle et de zéro est réalisée. Les tracés de la ligne droite de Bode sont à nouveau comparés aux tracés exacts. Le zéro a été déplacé à une fréquence plus élevée que le pôle pour créer un exemple plus intéressant. Notez sur la figure 4 que la chute de 20 dB/décade du pôle est arrêtée par la montée de 20 dB/décade du zéro, ce qui donne un tracé de magnitude horizontal pour les fréquences au-dessus de la position zéro. Notez sur la figure 5 dans le tracé de phase que l'approximation de la ligne droite est assez approximative dans la région où le pôle et le zéro affectent la phase. Notez également sur la figure 5 que la plage de fréquences où la phase change dans le tracé de la ligne droite est limitée aux fréquences d'un facteur dix au-dessus et en dessous de la position du pôle (zéro). Lorsque la phase du pôle et le zéro sont tous deux présents, le tracé de phase en ligne droite est horizontal car la chute de 45°/décennie du pôle est arrêtée par la montée superposée de 45°/décennie du zéro dans la gamme limitée de fréquences où les deux contribuent activement à la phase.

• Exemple avec pôle et zéro
• 
  Figure 2 : Diagramme de magnitude de Bode pour les pôles zéro et passe-bas ; les courbes étiquetées « Bode » sont les diagrammes de Bode en ligne droite
• 
  Figure 3 : Diagramme de phase de Bode pour les pôles zéro et passe-bas ; les courbes étiquetées « Bode » sont les diagrammes de Bode en ligne droite
• 
  Figure 4 : Diagramme de magnitude de Bode pour la combinaison pôle-zéro ; l'emplacement du zéro est dix fois plus élevé que dans les figures 2 et 3 ; les courbes étiquetées « Bode » sont les diagrammes de Bode en ligne droite
• 
  Figure 5 : Diagramme de phase de Bode pour la combinaison pôle-zéro ; l'emplacement du zéro est dix fois plus élevé que dans les figures 2 et 3 ; les courbes étiquetées « Bode » sont les diagrammes de Bode en ligne droite

Les diagrammes de Bode sont utilisés pour évaluer la stabilité des amplificateurs à contre-réaction en trouvant les marges de gain et de phase d'un amplificateur. La notion de gain et de marge de phase est basée sur l'expression du gain pour un amplificateur à contre-réaction donnée par

où A _FB est le gain de l'amplificateur avec rétroaction (le gain en boucle fermée ), β est le facteur de rétroaction et A _OL est le gain sans rétroaction (le gain en boucle ouverte ). Le gain A _OL est une fonction complexe de la fréquence, avec à la fois une amplitude et une phase. L'examen de cette relation montre la possibilité d'un gain infini (interprété comme une instabilité) si le produit β A _OL = −1 (c'est-à-dire que l'amplitude de β A _{OL est un et sa phase est −180°, le} critère de stabilité dit de Barkhausen ). Les diagrammes de Bode sont utilisés pour déterminer à quel point un amplificateur est proche de satisfaire cette condition.

La clé de cette détermination réside dans deux fréquences. La première, appelée ici f ₁₈₀ , est la fréquence à laquelle le gain en boucle ouverte change de signe. La seconde, appelée ici f _{0 dB} , est la fréquence à laquelle la grandeur du produit |β A _OL | = 1 = 0 dB. Autrement dit, la fréquence f ₁₈₀ est déterminée par la condition

où les barres verticales indiquent la grandeur d'un nombre complexe et la fréquence f _{0 dB} est déterminée par la condition

Une mesure de la proximité de l'instabilité est la marge de gain . Le diagramme de phase de Bode localise la fréquence où la phase de β A _OL atteint −180°, désignée ici par la fréquence f _180. En utilisant cette fréquence, le diagramme de magnitude de Bode trouve la magnitude de β A _OL . Si |β A _OL | ₁₈₀ ≥ 1, l'amplificateur est instable, comme mentionné. Si |β A _OL | ₁₈₀ < 1, l'instabilité ne se produit pas, et la séparation en dB de la magnitude de |β A _OL | ₁₈₀ de |β A _OL | = 1 est appelée la marge de gain . Comme une magnitude de 1 est de 0 dB, la marge de gain est simplement l'une des formes équivalentes : .

Une autre mesure équivalente de la proximité de l'instabilité est la marge de phase . Le diagramme de magnitude de Bode localise la fréquence à laquelle la magnitude de |β A _OL | atteint l'unité, désignée ici par la fréquence f _{0 dB} . En utilisant cette fréquence, le diagramme de phase de Bode trouve la phase de β A _OL . Si la phase de β A _OL ( f _{0 dB} ) > −180°, la condition d'instabilité ne peut être satisfaite à aucune fréquence (car sa magnitude sera < 1 lorsque f = f ₁₈₀ ), et la distance de la phase à f _{0 dB} en degrés au-dessus de −180° est appelée marge de phase .

Si un simple oui ou non sur la question de la stabilité est tout ce qui est nécessaire, l'amplificateur est stable si f _{0 dB} < f ₁₈₀ . Ce critère est suffisant pour prédire la stabilité uniquement pour les amplificateurs satisfaisant certaines restrictions sur leurs positions de pôle et de zéro ( systèmes à phase minimale ). Bien que ces restrictions soient généralement respectées, si elles ne le sont pas, une autre méthode doit être utilisée, telle que le diagramme de Nyquist . Les marges de gain et de phase optimales peuvent être calculées à l'aide de la théorie d'interpolation de Nevanlinna–Pick .

Les figures 6 et 7 illustrent le comportement et la terminologie du gain. Pour un amplificateur tripolaire, la figure 6 compare le diagramme de Bode pour le gain sans rétroaction (le gain en boucle ouverte ) A _OL avec le gain avec rétroaction A _FB (le gain en boucle fermée ). Voir l'amplificateur à rétroaction négative pour plus de détails.

Dans cet exemple, A _OL = 100 dB aux basses fréquences et 1 / β = 58 dB. Aux basses fréquences, A _FB ≈ 58 dB également.

Étant donné que c'est le gain en boucle ouverte A _OL qui est tracé et non le produit β A _OL , la condition A _OL = 1 / β décide de f _{0 dB} . Le gain de rétroaction aux basses fréquences et pour un grand A _OL est A _FB ≈ 1 / β (regardez la formule du gain de rétroaction au début de cette section pour le cas d'un grand gain A _OL ), donc une manière équivalente de trouver f _{0 dB} est de regarder où le gain de rétroaction croise le gain en boucle ouverte. (La fréquence f _{0 dB} est nécessaire plus tard pour trouver la marge de phase.)

Près de ce croisement des deux gains à f _{0 dB} , les critères de Barkhausen sont presque satisfaits dans cet exemple, et l'amplificateur de rétroaction présente un pic de gain massif (il serait infini si β A _OL = −1). Au-delà de la fréquence de gain unitaire f _{0 dB} , le gain en boucle ouverte est suffisamment faible pour que A _FB ≈ A _OL (examiner la formule au début de cette section pour le cas d'un petit A _OL ).

La figure 7 montre la comparaison de phase correspondante : la phase de l'amplificateur de rétroaction est presque nulle jusqu'à la fréquence f ₁₈₀ où le gain en boucle ouverte a une phase de −180°. Dans ce voisinage, la phase de l'amplificateur de rétroaction plonge brusquement vers le bas pour devenir presque identique à la phase de l'amplificateur en boucle ouverte. (Rappelons que A _FB ≈ A _OL pour un petit A _OL .)

En comparant les points étiquetés sur la Figure 6 et la Figure 7, on constate que la fréquence de gain unitaire f _{0 dB} et la fréquence de basculement de phase f ₁₈₀ sont presque égales dans cet amplificateur, f ₁₈₀ ≈ f _{0 dB} ≈ 3,332 kHz, ce qui signifie que la marge de gain et la marge de phase sont presque nulles. L'amplificateur est à la limite de la stabilité.

Les figures 8 et 9 illustrent la marge de gain et la marge de phase pour une quantité différente de rétroaction β. Le facteur de rétroaction est choisi plus petit que dans la figure 6 ou 7, déplaçant la condition | β A _OL | = 1 vers une fréquence plus basse. Dans cet exemple, 1 / β = 77 dB, et aux basses fréquences A _FB ≈ 77 dB également.

La figure 8 montre le tracé du gain. D'après la figure 8, l'intersection de 1 / β et A _OL se produit à f _{0 dB} = 1 kHz. Notez que le pic du gain A _FB près de f _{0 dB} a presque disparu.

La figure 9 est le diagramme de phase. En utilisant la valeur de f _{0 dB} = 1 kHz trouvée ci-dessus à partir du diagramme de magnitude de la figure 8, la phase en boucle ouverte à f _{0 dB} est de −135°, ce qui représente une marge de phase de 45° au-dessus de −180°.

En utilisant la figure 9, pour une phase de −180° la valeur de f ₁₈₀ = 3,332 kHz (le même résultat que celui trouvé précédemment, bien sûr ). Le gain en boucle ouverte de la figure 8 à f ₁₈₀ est de 58 dB, et 1 / β = 77 dB, donc la marge de gain est de 19 dB.

La stabilité n'est pas le seul critère de réponse de l'amplificateur et, dans de nombreuses applications, une exigence plus stricte que la stabilité est une bonne réponse en échelon . En règle générale , une bonne réponse en échelon nécessite une marge de phase d'au moins 45°, et souvent une marge de plus de 70° est préconisée, en particulier lorsque la variation des composants due aux tolérances de fabrication est un problème. Voir également la discussion sur la marge de phase dans l' article sur la réponse en échelon .

• Exemples
• 
  Figure 6 : Gain de l'amplificateur de rétroaction A _FB en dB et de l'amplificateur en boucle ouverte correspondant A _OL . Paramètre 1/β = 58 dB, et aux basses fréquences A _FB ≈ 58 dB également. La marge de gain de cet amplificateur est presque nulle car | β A _OL | = 1 se produit à presque f = f _180° .
• 
  Figure 7 : Phase de l'amplificateur de rétroaction °A _FB en degrés et de l'amplificateur en boucle ouverte correspondant °A _OL . La marge de phase dans cet amplificateur est presque nulle car le basculement de phase se produit à une fréquence de gain presque unitaire f = f _{0 dB} où | β A _OL | = 1.
• 
  Figure 8 : Gain de l'amplificateur de rétroaction A _FB en dB et de l'amplificateur en boucle ouverte correspondant A _OL . Dans cet exemple, 1 / β = 77 dB. La marge de gain de cet amplificateur est de 19 dB.
• 
  Figure 9 : Phase de l'amplificateur de rétroaction A _FB en degrés et de l'amplificateur en boucle ouverte correspondant A _OL . La marge de phase de cet amplificateur est de 45°.

Le traceur de Bode est un instrument électronique ressemblant à un oscilloscope , qui produit un diagramme de Bode, ou un graphique, du gain de tension ou du déphasage d'un circuit tracé en fonction de la fréquence dans un système de contrôle par rétroaction ou un filtre. Un exemple de ce type de traceur est illustré à la figure 10. Il est extrêmement utile pour analyser et tester les filtres et la stabilité des systèmes de contrôle par rétroaction , grâce à la mesure des fréquences de coupure et des marges de gain et de phase.

Ceci est identique à la fonction effectuée par un analyseur de réseau vectoriel , mais l'analyseur de réseau est généralement utilisé à des fréquences beaucoup plus élevées.

À des fins d'éducation et de recherche, le tracé de diagrammes de Bode pour des fonctions de transfert données facilite une meilleure compréhension et l'obtention de résultats plus rapides (voir les liens externes).

Deux tracés apparentés affichent les mêmes données dans des systèmes de coordonnées différents : le tracé de Nyquist et le tracé de Nichols . Il s'agit de tracés paramétriques , avec la fréquence comme entrée et la magnitude et la phase de la réponse en fréquence comme sortie. Le tracé de Nyquist les affiche en coordonnées polaires , avec la magnitude en correspondance avec le rayon et la phase avec l'argument (angle). Le tracé de Nichols les affiche en coordonnées rectangulaires, sur l' échelle logarithmique .

• 
  Figure 11 : Un diagramme de Nyquist .
• 
  Figure 12 : Un diagramme de Nichols de la même réponse de la figure 11.