Méthode des éléments analytiques

La méthode des éléments analytiques ( MEA ) est une méthode numérique utilisée pour la résolution d' équations aux dérivées partielles . Elle a été initialement développée par O.D.L. Strack à l' Université du Minnesota . Elle est similaire à la méthode des éléments de frontière (MEF), car elle ne repose pas sur la discrétisation des volumes ou des surfaces du système modélisé ; seules les frontières internes et externes sont discrétisées. L'une des principales différences entre la MEA et la MEF réside dans le fait que les intégrales de frontière sont calculées analytiquement. Bien qu'initialement développée pour la modélisation des écoulements souterrains, la MEA a ensuite été appliquée à d'autres domaines d'étude, notamment la conduction thermique, les ondes périodiques et la déformation sous l'effet d'une force.

Le principe fondamental de la méthode des éléments analytiques est que, pour les équations différentielles linéaires , les solutions élémentaires peuvent être superposées pour obtenir des solutions plus complexes. Un ensemble de solutions analytiques 2D et 3D (« éléments ») est disponible pour différentes équations régissant le système. Ces éléments correspondent généralement à une discontinuité de la variable dépendante ou de son gradient le long d'une frontière géométrique (par exemple, un point, une droite, une ellipse, un cercle, une sphère, etc.). Cette discontinuité possède une forme fonctionnelle spécifique (généralement un polynôme en 2D) et peut être manipulée pour satisfaire les conditions aux limites de Dirichlet, de Neumann ou de Robin (mixtes). Chaque solution analytique est infinie dans l'espace et/ou le temps.

Chaque solution analytique comporte généralement des degrés de liberté (coefficients) calculables pour satisfaire les conditions aux limites prescrites le long du contour de l'élément. Pour obtenir une solution globale (c'est-à-dire les coefficients d'élément corrects), un système d'équations est résolu de manière à ce que les conditions aux limites soient satisfaites sur l'ensemble des éléments (par collocation , minimisation des moindres carrés ou une méthode similaire). Notamment, la solution globale fournit une description spatialement continue de la variable dépendante dans tout le domaine infini, et l'équation régissant le système est satisfaite exactement partout sauf le long du contour de l'élément, où elle n'est pas strictement applicable en raison d'une discontinuité.

La possibilité de superposer de nombreux éléments dans une solution unique permet d'obtenir des solutions analytiques pour des conditions aux limites d'une complexité arbitraire. Autrement dit, il est possible de résoudre des modèles présentant des géométries complexes, des frontières rectilignes ou courbes, des frontières multiples, des conditions aux limites transitoires, plusieurs couches d'aquifères, des propriétés variant par morceaux ou de manière continue. Les éléments peuvent être implémentés à l'aide de développements en champ lointain, ce qui permet de résoudre efficacement et avec une grande précision des modèles contenant plusieurs milliers d'éléments.

La méthode des éléments analytiques a été appliquée à des problèmes d' écoulement des eaux souterraines régis par diverses équations aux dérivées partielles linéaires, notamment l'équation de Laplace , l' équation de Poisson , l'équation de Helmholtz modifiée , l' équation de la chaleur et les équations biharmoniques . Ces équations sont souvent résolues à l'aide de variables complexes, ce qui permet d'utiliser les techniques mathématiques de la théorie des variables complexes. Une technique utile pour résoudre des problèmes complexes consiste à utiliser une transformation conforme , qui projette la frontière d'une géométrie, par exemple une ellipse, sur la frontière du cercle unité où la solution est connue.

La méthode des éléments analytiques utilise le potentiel de décharge et la fonction de courant , ou leur combinaison pour former le potentiel complexe. Ce potentiel relie les propriétés physiques du système aquifère, la charge hydraulique ou les conditions aux limites d'écoulement, à une représentation mathématique. Cette représentation mathématique permet de calculer le potentiel en fonction de la position et ainsi de résoudre les problèmes d'écoulement des eaux souterraines. Les éléments sont élaborés en résolvant les conditions aux limites pour chacune de ces deux propriétés, la charge hydraulique ou les conditions aux limites d'écoulement, ce qui conduit à des solutions analytiques capables de traiter de nombreuses conditions aux limites.

Comme mentionné précédemment, la méthode des éléments analytiques ne repose pas sur la discrétisation du volume ou de la surface du modèle, contrairement aux méthodes des éléments finis ou des différences finies . Elle permet ainsi de modéliser des problèmes complexes avec une précision de l'ordre de la précision machine. Une étude illustre ce principe en modélisant un aquifère isotrope et très hétérogène à l'aide de 100 000 hétérogénéités sphériques de conductivité aléatoire et en traçant 40 000 particules. La ​​méthode des éléments analytiques peut être utilisée efficacement comme outil de vérification ou de sélection dans des projets de grande envergure, car elle permet de calculer rapidement et précisément l'écoulement des eaux souterraines pour de nombreux problèmes complexes.

Contrairement à d'autres méthodes de modélisation des eaux souterraines couramment utilisées, telles que la méthode des éléments finis ou la méthode des différences finies , la méthode AEM ne discrétise pas le domaine du modèle en cellules. Ceci présente l'avantage que le modèle est valide pour tout point donné du domaine. Cependant, cela implique également que le domaine ne peut pas être divisé aussi facilement en régions de conductivité hydraulique différente, par exemple, qu'avec une modélisation par grille cellulaire ; une solution à ce problème consiste à inclure des sous-domaines dans le modèle AEM. Il existe également des solutions pour implémenter des propriétés ou des structures verticalement variables dans un aquifère au sein d'un modèle AEM.